1 3.Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые.
Бесконечно
малые функции 
и 
называются
бесконечно малыми одного порядка
малости, если 
,
обозначают 
.
И, наконец, если 
не
существует, то бесконечно малые
функции
и
несравнимы.
ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций
Эквивалентные бесконечно малые функции.
Если 
,
то бесконечно малые
функции
и
называютсяэквивалентными,
обозначают
~
.
Локально эквивалентные функции:
при
если
Некоторые эквивалентности (при ):
Применение эквивалентных функции к нахождению пределов
14.Односторонние пределы.
До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a, слева или справа от a. Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Если f(x) стремится
к пределу b при x стремящемся
к некоторому числу a так,
что xпринимает
только значения, меньшие a,
то пишут 
и
называют bпределом
функции f(x) в точке a слева.
Таким
образом, число b называется
пределом функции y=f(x) при x→aслева,
если каково бы ни было положительное
число ε, найдется такое число δ
(меньшее a),
что для всех 
выполняется
неравенство 
.
Аналогично,
если x→a и
принимает значения большие a,
то пишут 
и
называют b пределом
функции в точке а справа.
Т.е. число b называется пределом
функции y=f(x) при x→a
справа,
если каково бы ни было положительное
число ε, найдется такое число δ
(большее а),
что для всех 
выполняется
неравенство
.
Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.
Примеры.
Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образом
Найдем
пределы функции f(x) при x→3.
Очевидно, 
,а 
15.Непрерывность функции в точке и на множестве.
Определение
1:
Функция f(x) называется непрерывной
функцией в
точке A, если существует предел
данной функции при
аргументе стремящимся к A и он равен
f(a), т.е. 
.
Критерий непрерывности:
Другими словами, для любого сколь угодно малого числа эпсилон, существует такое число дельта, зависящее от эпсилон, что из того, что для любых иксов удовлетворяющих неравенству следует, что отличия значений функции в данных точках будет сколь угодно мало.
Критерий непрерывности функции в точке:
Функция будет непрерывна в точке A тогда и только тогда, когда она будет непрерывна в точке A и справа и слева, т.е чтобы в точке A существовали два односторонних предела, они были равны между собой и равнялись значению функции в точке A.
Определение 2: Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.