30.Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница. Производные высших порядков

 Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x:

y' =f ' (x)

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

ПРИМЕР:

1. Найти вторую производную функции y = x⁴     Р е ш е н и е: Имеем y^' = (x⁴)^' = 4x³    далее: y^'' = (y^')^' = (4x³)^' = 12x²   2. Найти вторую производную функции y = 3cos(x)    Р е ш е н и е: Имеем y^' = (3cos(x))^' = -3sin(x)   далее: y^'' = (y^')^' = (-3sin(x))^' = -3cos(x)  3. Найти вторую производную функции y = tg (x) Решение: Имеем     далее:

Очень удобно пользоваться также обозначением

 ,

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.  Производная второй производной, т.е. функции y''=f''(x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

.

 Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Ф-ла Лейбница:

Предположим, что функции    и     дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим

   

Сопоставим эти выражения со степенями бинома   :

   

Бросается в глаза правило соответствия: чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций    и   , нужно заменить степени     и     в выражении для     (где  n = 1,2,3) производными соответствующих порядков. Кроме того, нулевые степени величин     и     следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции    и   :

        .

      Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка  n, получим формулу Лейбница,

где     - биномиальные коэффициенты:

31.Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d²y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d³y=d(d²y)…

dⁿy=d(d ^n-1 y) - диф-л n-го порядка

Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d²y=y’’(dv)², d³y=y’’’(dv)³,…, dⁿy=y⁽ⁿ⁾⁽dv)ⁿ.

Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d²y=f’’(v)*(dv)²+ f’(v)d²v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется)

32.Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали

Геометрический смысл производной

33.Теорема Ролля.

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.

f(x₁) = M – max , f(x₂) = m – min ; x₁;x₂  [a;b]

1) Пусть M = m, т.е. m  f(x)  M

 ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а  ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть Mm

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b)  свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а  будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.