- •1. Понятие функции. Ограниченные функции.
- •2. Функции четные, нечетные, монотонные.
- •3. Числовые последовательности. Определение и примеры.
- •4. Предел числовой последовательности.
- •5. Теоремы о пределах числовой последовательности
- •Примеры.
- •6. Раскрытие неопределенностей (0/0), ∞ -∞
- •7. Предел последовательности . Понятие о натуральном логарифме.
- •8. Понятие предела функции.
- •9. Вычисление пределов функции.
- •10.Предел и связанные с ним пределы.
- •11.Предел и связанные с ним пределы.
- •12.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •1 3.Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые.
- •14.Односторонние пределы.
- •15.Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •16.Классификация точек разрыва.
- •17.Свойства непрерывных функций.
- •18.Непрерывность основных элементарных функций.
- •19.Производная функции в точке.
- •20.Правила дифференцирования.
- •21.Вычисление производной степенной функции.
- •22.Вычисление производной показательной функции.
- •23.Вычисление производных тригонометрических функций.
- •24.Вычисление производной логарифмической функции.
- •25.Производная сложной функции.
- •26.Производнаяобратной функции.
- •28.Производная функции, заданной неявно и параметрически.
- •30.Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница. Производные высших порядков
- •31.Дифференциалы высших порядков.
- •32.Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали
- •33.Теорема Ролля.
- •34.Теорема Лагранжа.
- •35.Теорема Коши.
- •36.Экстремум функции одной переменной(?). Необходимое условие экстремума .
- •37.Достаточные условия экстремума.
- •38.Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •39.Достаточные условия перегиба.
- •40.Асимптоты графика функции.
- •41.Правило Лопиталя.
- •42.Формула Тейлора для функции.
- •43.Комплексные числа.
- •44.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •45.Векторы, линейные операции над векторами.(?)
- •46.Координаты вектора.
- •47.Определители 2-го, 3-го порядков
- •48.Свойства определителя.
- •49.Теорема о разложении определителя.
- •50.Линейная зависимость векторов.
1. Понятие функции. Ограниченные функции.
Определение функции: Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут y= f(x), где х - называется независимой переменной или аргументом этой функции, а множество D - область определения этой функции.
Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция -неограниченная.
П р и м е р ы .
2. Функции четные, нечетные, монотонные.
Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( x ) = f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно н ачала координат ( рис.6 ).
Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 ), то функция f ( x ) называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) < f ( x1 ),то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.
3. Числовые последовательности. Определение и примеры.
Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина, если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x1,x2,…,xn,… Для таких величин при i < j, i, j N, значение xi считается предшествующим, а xj – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами.
Например, числовую последовательность образуют следующие величины:
,
,
, где а, d – постоянные числа.
4. Предел числовой последовательности.
Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к a, и пишут .
Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие. Окрестностью точки x0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x0, для которой x0 является серединой, тогда x0 называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусомокрестности.
Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).
Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.
Примеры.
Пусть переменная величина x последовательно принимает значения
Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - 1| < ε. Действительно, т.к.
,
то для выполнения соотношения |xn - a| < ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N=6, для всех n>6 будем иметь .
Используя определение предела числовой последовательности, доказать что .
Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .