36.Экстремум функции одной переменной(?). Необходимое условие экстремума .

Наибольшее значение достигается в некоторой точке х₀ [a,b]. При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х₀=а, 2) х₀=b, 3)х₀(a,b). Пусть х₀(a,b). Тогда х₀ – точка локального экструмума и, если существует f(x₀), f(x₀)=0. Однако производная f(x₀) может и не существовать.

Критической точкой функции f(x) называется точка, в которой производная f(x) либо не существует, либо равна нулю.

Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x₀ является критической точкой функции f(x) . Предположим, что критические точки функции f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x₁,x₂, …,x_n}. Из сказанного выше следует, что точка x₀ , в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с одной из точек: a,b,x₁,…x_n. Поэтому для максимального значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство f_max=max{f(a),f(b),f(x₁),…f(x_n)}. Аналогично для минимального значения f_min=min { f(a),f(b),f(x₁),…f(x_n)}.

 Если дифференцируемая функция у=ƒ(х) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю: ƒ'(х₀)=0.

Пусть, для определенности, x₀ — точка максимума. Значит, в окрестности точки х₀ выполняется неравенство ƒ(х₀)>ƒ(х₀+∆х). Но тогда

если ∆х>0, и ∆у/∆х>0, если ∆х<0.

По условию теоремы производная

существует. Переходя к пределу, при ∆х→0, получим ƒ'(x₀)≥0, если ∆х<0, и f'(х₀)≤0, если ∆х>0. Поэтому ƒ'(х₀)=0. Аналогично доказывается утверждение теоремы 25.8, если х₀ — точка минимума функции ƒ(х).

Геометрически равенство ƒ'(х₀)=0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у=ƒ(х) касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 147).

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если ƒ'(х₀)=0, то это не значит, что х₀-

точка экстремума. Например, для функции у=х³ ее производная у'=3х² равна нулю при х=0, но х=0 не точка экстремума (см. рис. 148).

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной.  Например,  непрерывная  функция  у=׀ х׀ в точке  х=0 производной не имеет, но точка х=0 — точка минимума  (см. рис. 149).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

37.Достаточные условия экстремума.

Достаточные условия экстремума:

1. Пусть f(x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки х₀ и непрерывна в х₀, тогда, если и х < х₀ или и х > х₀, то x – min; если и х < х₀ или и х > х₀, то x – max. Для проверки этого условия делаем подстановку значений, меньших и больших проверяемого x.

2. Пусть , тогда если существует , то:

если , то х₀ – min;

если , то х₀ – max;

если , то неизвестно

38.Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 5. (достаточный признак выпуклости и вогнутости). Пусть функция у = f(x) имеет вторую производную  (x) во всех точках интервала (а_, b). Если во всех точках этого интервала  < 0, то график в (а_, b) выпуклый; если же  > 0 – вогнутый. 

Доказательство. Допустим для определенности, что < 0 и докажем, что гра­фик выпуклый. Возьмем на графике функции произвольную точку М₀ с абсциссой х₀ (а, b) и проведем через точку М₀ касательную. Для доказательства теоремы нужно показать, что для одной и той же абсциссы x ордината кривой меньше ординаты касательной. Это будет означать, что график функции нахо­дится ниже касательной. Уравнение касательной в точке М₀ имеет вид У – f (х₀) = f (х₀).(х-х₀). Здесь через У обозначена ордината касательной, соот­ветствующая абсциссе x.