45.Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных оценок.

Оц. - несмещенная, если . Если это требование не выполняется, то в среднем оц. будет всегда давать значение θ с нек. отклонением. Для несмещен. оц. устраняется возможность появления сис­темат. ошибки при оценке параметра θ. Статистика зависит от объема выборки п, и при ее удачном построении естественно ожидать, что при больших п ее значение приближа­ется к истинному зна-ю пар-ра θ. Если для любого ε> О , то оценка - состоятельная. Это условие означа­ет, что ( стремится к θ по вероятности), зн. при больших п отклонение от θ становится сколь угодно малым.Оц. качества несмещенной оц-и-ее диспер­сия. Несмещенная оц. - эффективная, если ее дисперсия является наименьшей среди дисперсий всех возможных оценок параметра θ, вычисленных по одному и тому же объему выборки п.

46. Свойства точечных оценок среднего, дисперсии и доли

Теорема: Пусть Х₁,Х₂,…,Х_n – это выборка из генеральной совокупности, для которой MX = a = MX_i, тогда

_{является несмещенной и состоятельной оценкой мат. ожид. Если распределение Х является нормальным, то эта оценка является эффективной.}

Случай 1. Если выборка повторная, то после проведения первого наблюдения, условия не меняются.

Случай 2. Если выборка бесповторная (без возврата), т.е. после того как мы измерили признак, мы его изымаем, то тогда величины будут зависимы, объём генеральной выборки изм-ся.

Теорема: Пусть Х₁,Х₂,…,Х_n – это выборка из генеральной совокупности, при этом

_{Тогда исправленная выборочная дисперсия}

_{является несмещенной и состоятельной оценкой для}

_.

СВ Х, А, n испытаний

_{nA - число появления события А}

Теорема: Частность появления события А в n независимых испытаниях Бернулли является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой вероятности р.

Пример: Подкидывается монета n раз. p-появление герба. Пусть монета выпала m раз, тогда

Это будет несмещенная оценка. Состоятельность оценки исходит из формулы Бернулли.

47.Интервальная оценка параметра ген. Сов-сти, доверительная вероятность.

Интервальная оценка – характеристика точности точечных оценок.

Интервальной оценкой параметра θ генеральной совокупности наз-ся интервал (θ¹_п;θ²_п), концы которого являются случайными величинами, которые с заданной вероятностью γ закрывают неизвестные значения параметра θ.

(θ¹_п;θ²_п) – доверительный интервал

, - доверительная вероятность

Обычно доверительный интервал симметричен относительно оценки θ, тогда он определяется формулой:

Наибольшее отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения наз-ся предельной ошибкой выборки.

Терема:

, Ф(t) – фунция Лапласса,

(для большого объема выборки n>40)

48.Интервальная оценка для среднего норм. Ген. Сов-ти для известной и неизвестной дисперсии

Пусть {x₁, x₂, … x_n} – выборка из генеральной совокупности объема N, - выборочное среднее, - выборочная дисперсия, - выборочное среднее квадратическое отклонение, - выборочная доля признака.

Доверительный интервал уровня надежности для генеральной средней а имеет вид:

– предельная ошибка выборки

При n>30 для повторной выборки , для бесповторной

t определяется из условия Ф(t)= - ф-ия Лапласа

Если n<30, то доверительный интервал для а строится только для нормальной генеральной совокупности и для повторной выборки

опред-ся из условия , где СВ имеет распре-иед Стьюдента с n-1степенями свобода и нах-ся по табл распр-ия Стьюдента.

Для бесповт-ой

Доверительный интервал для генеральной доли w- < w+ , где при n>30 для повторной выборки для бесповторной

.

Доверительный интервал для дисперсии

Если {x₁, … x_n} – выборка из нормальной совокупности N(a,σ), где a и σ неизвестны, то статистика Z= имеет распределение (хи-квадрат с n-1 степенями свободы). Тогда доверительный интервал для можно найти из соотн-ия =γ, где z₁,z₂ – определяются из условия P{z₁< <z₂}=γ.

Z₁ и Z₂ выбирают таким образом, чтобы

= , -z₁ и z₂ можно найти из таблиц распределения

49. χ2-распределение и распределение Стьюдента

Распределение (хи-квадрат с n степенями свободы). Если , i= , -независимые стандартные случайные величины, то говорят, что случайная величина:

Имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы. При этом , а графики плотности P_n(x) распеделения при различных n изображены на рис

Распределение Стьюдента t_n.

Пусть ξ₀, ξ₁ …ξ_n – независимые стандартные нормальные случайные величины. Тогда СВ

Имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы:

Мt_n=0, Dt_n=

График плотности Р_n(х) распределения t_n

– плотность распределения СВ Х N(0;1)

При n P_n(x) , уже при n>30 распределение Стьюдента модно приближенно заменить на стандартное нормальное.