5. Аксиоматическое определение вероятностей.

Ω={ω} -- набор элементарных событий

Рассмотрим набор подмножеств F={A/A c Ω}

Аксиома 1: Если А1, А2…Аn… F => A1+A2+…+An+… F

Аксиома 2: Для любого А F => F

Любой набор подмножеств данного множества, обладающий свойствами 1 и 2 – σ-алгебра

Из этих аксиом следует, что произведение любого подмножества тоже принадлежит σ-алгебре.

Аксиомы вероятностей

Вероятность события А F(A c Ω) называется число P(A), которое обладает следующими свойствами:

1. P(Ω)=1 P(A)>=0

2. Если семейство событий А1, А2…Аn… попарно несовместны, т.е. Ai*Aj=Ø, то вероятность суммы P(A1+A2+…+An+…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…

Дискретное вероятностное пространство -- вероятностное пространство, в котором пространство событий конечно или счетно, а σ-алгебра F -- множество всевозможных подмножеств дискретного множества Ω .

6. Условные вероятности и теорема умножения.

На практике часто встречаются ситуации, когда наступление некоторого события значительно меняет возможности наступления других событий и их вероятности. Если произошло событие B, то новая вероятность события А называется условной вероятностью и обозначается P_B(A), говорят: «вероятность события А при условии B». При этом B оказывается достоверным событием и играет роль пространства элементарных событий Ω.

Условная вероятность P_B(A) определяется формулой (при P(B) >0):

P_B(A)= (1)

Из (1) следует формула:

P(A*B)= P_B(A) P(B), P(B)>0, (2)

И симметричная формула:

P(A*B)= P_A(B)P(A), P(A)>0 (3)

Независимыми называются такие события А и В, что P_B(A)=P(A)

Из (2) получаем теорему умножения:

Пусть события А и В независимы, тогда

P(A*B)=P(A)P(B) (4)

Часто отношение (4) служит определением независимости событий, так что события называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей.

Условная вероятность P_B обладает всеми свойствами вероятности.

7. Независимость двух событий и в совокупности.

события А и В называются независимыми, если

P(AB)=P(A)P(B)

Свойства независимых событий:

1. если P(B)>0, то независимость А и В эквивалентна требованию : P_B(A)=P(A)

2. если события А и В независимы, то и события и В также независимы

3. пусть события А и В₁ независимы, А и В₂ независимы, В₁В₂=Ø, то есть В₁ и В₂ несовместны. Тогда события А и В₁+В₂ независимы.

4. если события А и В являются независимыми с положительными вероятностями, то они являются несовместными.

Следствие. Если события А и В несовместны и P(A)>0, P(B)>0, то А и В обязательно зависимы.

События А₁, А₂,…, А_n называются независимыми в совокупности, если для любого k(2≤k≤n) имеет место

P(A_i1, A_i2,…, A_ik)= (1)

Если формула (1) имеет место только при k=2, то события А₁,А_2,…,А_n называются попарно независимыми.

Из попарной независимости событий не следует независимость событий в совокупности.

8.Полная группа событий, формула полной вероятности, формула Байеса.

События Н₁,Н₂,…,Н_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием, т.е.

H_i*H_j=Ø, при i≠j и H₁+H₂+…+H_n=Ω

Такие события называются гипотезами.

Простейшим примером полной группы событий является произвольное событие А и его дополнение . По теореме сложения вероятностей, для полной группы событий справедливо равенство

P(H₁)+P(H₂)+…+P(H_n)=1

Полная группа событий Н_i, i= , расслаивает пространство Ω на непересекающиеся множества.

Пусть события Н_1,Н₂,…, Н_n образуют полную группу событий. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности:

P(A)=

В формулу полной вероятности входят вероятности P(H₁), P(H₂)…, P(H_n), которые называются априорными. Если событие А наступило, то эти вероятности изменяются. Это будут условные вероятности P_A(H₁),P_A(H₂),…,P_A(H_n). Они могут быть найдены по формуле Байеса:

P_A(H₁)=