39. Центральная предельная теорема

Суть ЦПТ:

Если СВ Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Имеется набор случайных величин, независимых, одинаково распределённых. Имеются MXi = a, DXi = σ²

Теорема:

Если попарно независимые СВ X₁, X₂, ..., Xn, ... имеют одинаковый закон распределения с конечными числовыми характеристиками MXi = a, DXi = σ², то при n → ∞ закон распределения СВ неограниченно приближается к нормальному закону.

(Нормальная СВ)

40. Генеральная совокупность и выборка, выборочный метод

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов или набдюдений, все элементы которой подлежат изучению при статистическом анализе.

В математической статистике генеральная совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли быть произведены при выполнении данного комплекса условий. Понятие генеральной совокупностианалогично понятию случайной величины (закону распределения вероятностей), так как обе они полностью определяются заданным комплексом условий. Так как понятия генеральной совокупности и совокупности всех значений случайной величины связваны с испытаниями (наблюдениями) в неизменных условиях, то в дальнейшем эти понятия не бедет различаться. На самом деле понятие генеральной совокупности несколько шире понятия случайной величины, так как случайная величина может быть результатом нескольких испытаний.

Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной. Число объектов (наблюдений) в генеральной совокупности называется ее объемом.

Изучение всего набора элементов генеральной совокупности часто оказывается невозможным, в таких случаях рассматривают некоторую часть объема.

Часть объектов генеральной совокупности, используемая для исследования, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Сущность выборочного метода в математической статистике заклюсается в том, чтобы по определенной части генеральной совокупности (выборке) судить о ее свойсьвах в целом.

Выборочный метод является единственно возможным в случае бесконечной генеральной совокупности или когда исслеование связано с уничтожением (гибелью) наблюдаемых объектов (например, исследование предельных режимов приборов). Для того чтобы по выборке можно было адекватно судить о случайной величине, она должна быть презентабельной (репрезентативной). Репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора ее элементов, так как все элементы генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попадания в выборку. Имеются 2 способа образования выборки:

1. повторная выборка, когда каждый элемент, случайно отобранный и исследованный, возвращается в общую совокупность и может быть отобран повторно;

2. бесповторная выборка, когда отобранный элемент не возвпащается в общую совокупность.

41.Вариационный ряд выборки.

Дана СВ X, выборка (x₁, x₂,…, x_n) объема n из генеральной совокупности. Элементы этой выборки - значения СВ X. Производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел x₁, x₂,…, x_n по возрастанию. Различные элементы выборки - варианты. Частота варианты x_i - число m_i, показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке. Частость (относительная частота/доля варианты) - число w_i=m_i/n. Частоты и частости - весы.Пусть x нек.число. Тогда количество вариант m_x, значения кот. меньше x, - накопленная частота, т.е. m_x=∑ m_i (x_i<x). Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений n - накопленная частость: w_x=m_x/n=1/n* .

Ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими им весами - вариационный ряд. Бывают дискретными и интервальными. Дискретный вар.ряд-выборка значений дискретной СВ, непрерывный(интервальный) - непрерывной СВ

Варианты xi	x1 x2 … xn
Частоты mi	m1 m2 …mn

Построение:

разбивают мн-во знач-й вариант не полуинтервалы [a₁, a_i+1) , т.е. группируют. Кол-во инт-лов k по ф-ле Стерджерса k=1+1,4ln n.

Длина интервала ∆=(x_max-x_min)/k. Частоты m_i, i= - число вариант, попавших в полуинтервал [a₁, a_i+1).

Варианты xi	[a1, a2) [a2, a3) … [ak, k+1)
Частоты mi	m1 m2 … mn

Если варианта находится на границе интервала, то ее присоединяют к правому интревалу. Полигон – для изображения дискретного вар. ряда - ломанная, соед-ая точки плоскости с координатами (x_i, m_i), i= . Для интервального ряда полигон – ломанная, соед-ая с коор-ми (с_i, m_i), где с_i=(a₁+a_i+1)/2, i= . Гистограмма - для представления интервальных вар. рядов - ступенчатая фигуры из прямоугольников с основаниями, равными длине интервалов ∆, и высотами, равными частотам m_i интервалов. Кумулянта - ломаная, соед-ая точки с координатами (x_i, m_xi) (где m_xi - накопленные частоты) для дискретного ряда, или точки с координатами (a_i, m_ai) для интервального ряда.