14. Случайн. Величина как функция на вероятностном пространстве, ф-ция распред.

Случ. величиной (СВ) назыв. числ. величина, к-ая в результате опыта может принять какое-либо знач, и заранее не известно, какое знач она примет. СВ бывает дискретн. и непрерывн.

СВ – это ф-ция, заданная на вероятностном пространстве Ω и принимающая числовые знач.

ω – элементарн. событие этого пространства.

С

X

В Х: Ω R

‘ω ‘ -x

R (X=x)={ω|X(ω)=x}, x Є R

ω’ - x

=

=

=

(X=x)={ω Є Ω| X(ω)<x}

О тображение Ω →R явл-ся СВ-й, если для всех xЄR множество (X<x) – событие.

Если пространство Ω={ ω1, …, ωn } – конечное, то любая ф-ция – СВ.

Пусть Х – СВ, тогда ф-ция распредел. величины Х – это числ. ф-ция Fx: R  R

x  P(X<x)

F_X(x)= P{X<x}, xR

{Под {X<x}понимается событие, состоящее в том, что случ. величина Х принимает значение меньшее, чем число х}

15. Дискретная случайная величина (дсв), полигон распределения, свойства функции распределения

Дискретной назыв. такую СВ множество значений которой конечно или счетно.(Пример: рац-ные числа на числ. прямой). Ω – всегда конечно или счетно, то любая СВ на нем – ДСВ.

Пусть ДСВ Х принимает знач. х₁, х₂…х_n, тогда закон распределения ДСВ: р_k =Р(Х=x_k), k=1,n. Он может задаваться:

1. табл. распред-ия:

хk	х1	х2	…	хn
рk	р1	р2	…	рn

2. Функцией распределения:

Ее график – кусочно-

постоянная ф-ция,

скачки кот-й в точках

разрыва x=x_k равны

вер-тям p_k:

3. полигоном распред-я

- графич. изображение таблицы распределения:

Свойства функции распределения:

1. 0<=F(x)<=1

2. Монотонно не убывает:

x1<x2  F(x1)<=F(x2)

3. F(-∞)=0, F(+∞)=1

4. Непрерывна слева:

5. F(x1<=X<=x2) = F(x2)-F(x1)

16. Распределение вероятностей суммы и произведения дискретных случайных величин.

Сумма СВ Х и У – это новая СВ Z=X+Y, принимающая все значения вида z_k=x_i+y_j с вероятностями

p_k=Σ_(xi+yj=zk)p_ij, где p_ij= P((X=x_i)*(Y=y_j))

Если при этом случайные величины Х и У независимы, то

p_ij= P((X=x_i)*(Y=y_j))=p_iq_j

Аналогично разностью Z=X-Y называется новая СВ, для которой

p_k=P(Z=z_k)= Σ _(xi-yj=zk)p_ij

где p_ij= P((X=x_i)*(Y=y_j))

Произведением Z=XY называется новая СВ Z, принимающая все значения вида z_k=x_iy_j с вероятностями

p_k=Σ_(xi+yj=zk)p_ij, где p_ij= P((X=x_i)*(Y=y_j))

17.Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной св, их свойства.

Мат. Ожидание дискретной СВ определяется так:

МХ=Σx_kp_k

И имеет смысл среднего значения СВ. Если число значений СВ конечно и равно n, а вероятность , то МХ совпадает с обычным средним значением величин x₁, x₂,…, x_n :

МХ=1/n Σх_k

Мат. ожидание обладает следующими свойствами:

1)MC=C, где C=const

2)M(CX)=C*MX, где С=const

3)M(X+-Y)=MX+-MY, для любых Х и У

4)M(X*Y)=MX*MY, если Х и У независимы.

5)M(X-MX)=0

Дисперсия(для оценки средней СВ вокруг ее среднего значения) – называется мат.ожидание квадрата разности X-MX:

DX=M(X-MX)²=Σ(x_k-MX)²p_k

DX=MX²-(MX)²

Свойства дисперсии

1)DC=0, где C=const

2) D(CX)=C²DX, где С=const

3)D(X+-Y)=DX+-DY, если Х и У независимы.

Bеличина σX=кореньDX называется средним квадратическим отклонением и также является мерой рассеивания СВ Х.