25. Вероятность отклонения от седнего и вероятность попадания на промежуток для номальной св.

Вероятность того, что отклонение СВ Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна

«Правило трёх сигм» :

Вероятность попадания значений нормальной СВ Х в интервал [ ] пределяется формулой

32. Ковариация и корреляция св, свойства коэффициента корреляции.

Коэффициентом ковариации двух случайных величин Х и Y называется число, определяемое формулой: cov(X,Y)=M[(X-a_x)(Y-a_y)] = М(XY)-MX*MY. Либо cov(X,Y)= . Здесь . Тогда коэффициентом корреляции будет называться число corr(X,Y)= . Свойства cov:

1. Симметричность: cov(X,Y)= cov(Y,Х)

2. cov(X,Х)=DX

3. Если X,Y независимы, то cov(X,Y)=0

4. 

5. cov(CX,Y)=C cov(X,Y)

6. cov(X+C,Y)= cov(X,Y)

7. 

Свойства corr(r):

1. 

2. Если X и Y независимы, то . Обратное утверждение неверно.

3. Если , то X и Y являются зависимыми СВ

4. Если Y=aX+b, то , где

Из свойств коэффициента корреляции следует, что он является мерой линейной зависимости СВ X и Y.

33. Двумерное нормальное распределение.

Случайная величина распределена по двумерному нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид

Двумерный нормальный закон определяется параметрами , , , , , которые имеют смысл:

Теорема: если то величины X и Y являются некоррелированными. Если две нормальные величины некоррелированы, то они независимы. В общем случае это утверждение неверно.

34. Преобразование св, теорема о функции плотности преобразованной абсолютно непрерывной св.

Пусть дана СВ X, для которой каждой величине X(x_1,…, x_n) соответствует вероятность P(p_1, ..., p_n) – таблица распределения. Задана функция y= Тогда можно рассмотреть новую преобразованную СВ Y= , для которой величине соответствует вероятность , – таблица распределения. Теорема о функции плотности преобразованной СВ: пусть X – непрерывная СВ, Пусть Y – преобразованная СВ. Тогда функция плотности . Замечание: если имеет отрицательную производную, то нужно поставить модуль. Если частично монотонна, то указанная формула также справедлива, но нужно поставить модуль ( ).

35. Теорема о функции плотности распределения суммы компонент абсолютно непрерывной двумерной св (формула свертки)

Пусть имеются две СВ – X и Y, рассматриваемых как двумерная величина (т.е. они имеют одну плотность P_X,Y(x,y). Рассмотрим новую СВ Z=X+Y, для которой необходимо найти плотность P_z. По определению F_z(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z). Тогда и Поскольку x+y=z, то y=z-x. Тогда имеем формулу свертки . Теорема: пусть X, Y – двумерная СВ с функцией плотности P_X,Y(x,y). Тогда СВ Z=X+Y имеет функцию плотности, определяемую формулой S-свертки или

37. Неравенства Маркова и Чебышева.

Если значение случайной величины Х неотрицательны и существует математическое ожидание МХ = а, то для любого ε>0

Р (Х ≤ ε) ≥ 1 – a/ε

Или

Р (Х > ε) < a/ε

Неравенство называется неравенством Маркова.

Если случайная величина имеет дисперсию DX, то справедливо неравенство Чебышева:

Р (|Х – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε²

Или

Р (|Х – a| > ε) < DX/ε²

38. Теорема Чебышева.(Закон больших чисел)

Имеется последовательность случайных величин X₁, X₂, X₃, …, Xn, … Независимы и одинаково распределены со средними MXi = a и дисперсиями DXi = DX, то справедлива теорема Чебышева:

Из этого неравенства при n → ∞ следует закон больших чисел:

Смысл закона больших чисел заключается в том, что средние значения случайных величин стремятся к их математическому ожиданию при n → ∞ по вероятности. Отклонение средних значений от математического ожидания становится сколь угодно малым с вероятностью, близкой к единице, если n достаточно велико. Другими словами, вероятность любого отклонения средних значений от а сколь угодно мала с ростом n.