9. Схема Бернулли, формула Бернулли, наивероятнейшее число схемы Бернулли.

Пусть проводятся n независимых испытаний, в результате которых может появится событие А с вероятностью p и не появиться с вероятностью q, p+q=1. такая схема называется последовательностью испытаний Бернулли или схемой Бернулли.

Пусть X- число успехов в n испытаниях Бернулли. Тогда вероятность события {X=m} (ровно m успехов в n испытаниях) вычисляется по формуле Бернулли:

P_n(m)=P{X=m}=C_n^mp^mq^n-m

В n испытаниях Бернулли наиболее вероятное число успехов удовлетворяет неравенствам

(n+1)p-1≤ < (n+1)p

10. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа в схеме Бернулли.

При больших n вероятность P_n(m) появления события А ровно m раз в схеме из n испытаний Бернулли можно вычислять по приближенной формуле Муавра-Лапласа: P_n(m)≈ , где х= , а -малая функция Лапласа, значения которой имеются в соответствующих таблицах.

Вероятность того, что число m появления события А в схеме Бернулли находится в заданном промежутке: a≤m≤b, при большом числе испытаний n приблизительно равна:

P(a≤m≤b) ≈ ,где

- функция Лапласа, значения которой находятся по таблицам.

Для частости m/n появления события А в n испытаниях Бернулли справедлива приближенная формула: P

Для числа m появлений события А справедлива приближенная формула: P

11. Функция Гаусса и функция Лапласа, их применения и свойства

Ф-ция Лапласа( знач-я Ф(х) при х>=0 даются в таблицах):

При Х Є [0;+∞] Ф(х) монотонно возрастает от 0 до 1.

Ф-ция Гауса:

график:

ф. Гауса – ф-ция F(x)

р аспределения 1 -- - - - - - - - - - - - -

Н ормальной СВ-ны: 1/2 _ _ _ _ _ _ _

Х Є N(a;σ), где a x

a- средняя, σ- среднее квадратическое отклонение.

ф.Лапл и ф.Гауса связаны: F(x)= 1/2 + (1/2)*Ф((х – a)/σ)

Если Х- стандартн Норм Случ Вел-а (а=0,σ=1), тогда они связаны:

и Ф(x)=2F(x) – 1

Применение: Если Х Є N(a;σ) Используя F(x) и Ф(х): Вероятность, что Х примет знач-я из инт. (x1;x2):

P(x1<X<x2)= F((x2-a)/σ) – F((x1-a)/σ)

P(x1<X<x2)= (1/2)*Ф((x2-a)/σ) –(1/2)*Ф((x1-a)/σ)

12. Формула Пуассона

Если рассмотреть серию испытаний Бернулли, где вероятность успеха зависит от номера испытания (р=рn), тогда теорема Пуассона:

Если npn -->λ при n -->∞, то

, m=0,1,2, … .

На практике для вычисления вероятностей (Pn(m)):

если n- велико, а р – мало и pn=λ, то приблизительное значение:

, m=0,1,2, … .

По значениям m и λ из таблицы можно найти значение p(m).

13. Оценка вероятности отклонения частоты от среднего и частости от вероятности в схеме Бернулли.

Существуют два следствия из Интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа, которая состоит в том что:

Отсюда с помощью ф-ции Лапласа можно вывести Следствия:

1. Отклон. Частости от вероятности(p)

2. Отклон. Частоты (m) от среднего(np):

, где

np - средняя появлений события

m - частота появлений события