42.Выборочная ф-я распределения, ее св-ва и связь с генеральной ф-ей распределения.

Эмпирич. ф-я распределения (ф-я распр-я выборки) F_n(x) – ф-я, значение кот. в точке x равно накопленной частоте, т.е. F_n(x)=w_x=m_x/n. Для интервального ряда указываются не конкретные значения вариант, а только их частоты на интервалах. В этом случае эмпирич. ф-я распределения определена только на концах интервалов. Ее можно изобразить ломаной, проходящей через точки (a_i,F_n(a_i)), i= .Эмпирическая плотность распр-я непрерывного вар. ряда – ф-я , если a_i ≤ x≤ a_i+1, i= ; или 0, если x<a или x>a_k+1.Ф-я f_n является аналогом плотности распределения случайной величины(площадь области под графиком равна 1). Ф-я распределения F(x) генеральной совокупности – теоретич. ф-я распределения. Различие между эмпирич. F_n(x) и теоретич. F(x) ф-ями распределения в том, что F(x) опр-т вероятность события, а F_n(x)-относ.частоту того же события. F_n(x) обладает всеми св-ами F(x). Св-ва F_n(x):

1. F_n(x) [0;1]; 2. F_n(x)-неубывающая ф-я; 3. если x₁-наименьшая варианта, а x_k-наибольшая, то F_n(x)=0 для x≤x₁, F_n(x)=1 для x≤ x_k; 4. F_n(x) непрерывная слева ф-я. Эмпирич. ф-я распределения выборки F_n(x) служит для оценки теоретич. ф-и распределения F(x) ген. сов-ти.

43. Выборочное среднее и дисперсия, исправленная выборочная дисперсия

Средняя арифметическая (выборочное среднее): для дискретного выборочного ряда:

,

для интервального ряда , где x_i - середина i-го интер­вала. Свойства средней арифметической: 1)если x_i = с, то = с; 2) = k ; 3) = 0; 4) = ± ; 5) ,

где — груп. средние, m_i-объемы групп,l-число групп. Вариационный размах R: R=x_max-x_min. Ср. лин. отклонение

d = .

Выборочная дисперсия- мера рассеивания-средняя арифметиче­ская квадратов отклонений вариант от их выборочной средней: S²=

Для несгруппированного ряда выборочная дисперсия равна или

Св-ва выборочной дисперсии:1)Дисперсия постоянной равна нулю;2)Если ко всем вариантам добавить постоянное число, то дисперсия не изменится;3)Если все варианты умножить на одно и то же число k, то дисперсия умножится на k²;4)Правило сложения дисперсий: Пусть n_i, i= -количество различных вариант в i-й группе, п_ij — частота j-й варианты в этой группе. То­гда i-я группа ряда – {х_i1 ,x_i2,...,x_i,ni },

i = ,при этом значение х_ij повторяется п_ij раз. Пусть групповые средние арифметические: . Групповые дисперсии:

.

Ср. арифметическая групповых дисперсии .

Межгрупповая дисперсия

Правило сложения дисперсий:

Выборочн. ср. квадратич. отклон-е -мера вариации признака:

Коэффициент вариации-процентное отношение выборочного среднего квадратич. отклонения к выборочной средней:

44.Точечные оценки параметров генеральной совокупности, оценка среднего и дисперсии.

Оценки - точечные, т. к. они оценивают одно числен. зн-е параметра θ (точку). Дано: повторн. выборка {x₁,x₂,...x_n} зн-ий ген. сов-ти X,СВ X₁,Х₂,...,Х_п –независимыми, MX = a, DX =σ ² ген. средняя и дисперсия сов-ти. В качестве оценок для а и σ рассмотрим ср. арифмет. выборки и выборочную дисперсию

Св-ва оценок:

1.

Значит, - несмещенная оценка для а. Т.к. по з-ну больш. чисел при n→∞,то оценка состоятельная. Оцен­ка еще и эффект-ная, причем .

2. Мат. ожидание выб. дисперсии: Т. о., оценка S² –смещенная. На практи­ке, чтобы избавиться от этого, для оценки неизвест­н. дисперсии ген. сов-ти пользуются исправ­ленной несмещенной оценкой но из з-на больших чисел: оцен­ки S² и - состоятельные оценки для σ².

Для бесповт. выборки оц-ки также явл. несмещ-и и состоят-и, а дисперсия

, где N — объем ген. совокупности.

При N→∞ беспо­вт. выборка: = .Пусть в ген. сов-ти М элементов, об­лад-их признаком А,тогда ген.доля признака А .Для доли р несмещ. и состоят. оценка - выборочн. доля ,где т — число элементов выборки, облад-их признаком А. Дисперсия для повт. выборки: , а для бесповт. выборки .Если п намного меньше N, то повт. в-ка практически не отлич. от бесповт. Если п = N, то объем вы­борки = объему гене. совок-ти и выборочная доля = ген-ой, тогда = 0. При больших п (п > 30) неизвестные параметры в формулах для дисперсии можно заменить на их выборочные значения без особой потери точности.