3.2. Физика атомов и молекул § 3.2.1. Атом водорода в квантовой механике

На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели вокруг положительного ядра по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома, в области с линейными размерами порядка 10^-10 м. Заряд ядра равен Zе (Z. -— порядковый номер элемента в системе Менделеева, е — .элементарный заряд), размер 10^-15 – 10^-14 м, масса, практически равна массе атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.

Атом водорода и водородоподобные системы – это системы, состоящие из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы He⁺, Li²⁺).

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не⁺, двукратно ионизованного лития Li^{+ +} и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Zе (для атома водорода Z =1),

, (1)

где r – расстояние между электроном и ядром. Графически функция U (r) изображена жирной кривой на рис. 6, неограниченно убывающей (возрастающей .по модулю) при уменьшении r, т. е. при приближении электрона к ядру.

Рис. 6

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему значение (1):'

, (2)

где m – масса электрона, Е – полная энергия электрона в атоме.

Это так называемое стационарное уравнение Шрёдингера для электрона водородоподобного атома ВДПА.

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии

(n = 1, 2, 3,…), (3)

т. е. для дискретною набора отрицательных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» , решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е₁, Е₂, Е₃, ... показаны па рис. 6 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энергии, – основной, все остальные (Е_n>E₁, n = 2, 3,…) – возбужденные. При Е < 0 движение электрона является связанным он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п=∞ Е_∞= 0. При Е > 0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е >0 (заштрихована на рис. 6) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

E_i = - E₁ = me⁴ / (8h²ε₀²) = 13,55 эВ.

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (2) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным m_l.

Главное квантовое число n, согласно (3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы:

n =1, 2. 3, ....

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический и орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

, (4)

где l – орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения

l = 0, 1, ...,(n - 1), (5)

т. е. всего п значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L_e момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_еz на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ħ

L_ez = ħm_l, (223.6)

где т_l – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

m_l = 0, ±1, ±2, ..., ± l, (223.7)

т.е. всего 2l+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число т_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l + 1 ориентаций.

Наличие квантового числа m_l должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2l+1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней и магнитном поле было обнаружено в 1896 г, голландским физиком П. Зееманом (1865 - 1945) и получило название аффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эффектом Штарка .

Хотя энергия электрона (3) и зависит только от главного квантового числа n, но каждому собственному значению Е_п (кроме Е₁) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями l и m_l. Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном п орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до n – 1, (см. (5)), а каждому значению l соответствует 2l + 1 различных значений т_l (7), то число различных состояний, соответствующих данному п, равно

. (8)

Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию Ψ.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа п и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число т_l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами l = 0, называют s – состоянием (электрон в этом состоянии называют s – электроном), l = 1 — р-состоянием, l = 2 — d-состоянием, l = 3 — f-состоянием и т.д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа (см. рис. 8). Например, электроны в состояниях с n = 2 и l = 0 и 1 обозначаются соответственно символами 2s и 2р.

На рис. 7 для примера приведено распределение электронной плотности (формы электронного облака) для состояний атома водорода при п = 1 и n =2, определяемое ||². Как видно из рисунка, оно зависит от п, l и т_l. Так, при l = 0 электронная плотность отлична от нуля в центре и не зависит от направления (сферически-симметрична), а для остальных состояний в центре равна нулю и зависит от направления.

Рис. 7 Рис. 8