- •Квантовая физика
- •Тема 3.1. Квантовые законы движения микрообъектов
- •§ 3.1.1. Корпускулярно-волновой дуализм
- •Основные связи корпускулярности и волны
- •§ 3.1.3. Соотношение неопределенностей, его физическая и методологическая интерпретация
- •§ 3.1.4. Волновая функция и ее статистический смысл
- •Величина
- •§ 3.1.5. Уравнение Шрёдингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний
- •§ 3.1.6. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
- •Общее решение дифференциального уравнения (3):
- •§ 3.1.7. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.
- •3.2. Физика атомов и молекул § 3.2.1. Атом водорода в квантовой механике
- •§ 3.2.2. Спин электрона. Спиновое квантовое число
- •§ 3.2.3. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме
- •§ 3.2.4. Периодическая система Менделеева
- •§ 3.2.5. Спектры излучения атомов
- •§ 3.2.6. Молекулы: химические связи, понятие
- •§ 3.2.7. Поглощение, спонтанное и вынужденное излучение
- •§ 3.2.8. Оптические квантовые генераторы (лазеры)
- •3.3. Электропроводимость полупроводников и металлов
- •§ 3.3.1. Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна
- •§ 3.3.1. Вырожденный электронный газ в металле.
- •§ 3.3.2. Выводы квантовой теории электропроводности
- •§ 3.3.3. Понятие о зонной теории твердых тел
- •§ 3.3.4. Металлы, диэлектрики и полупроводники
- •§ 3.3.5. Собственная проводимость полупроводников
- •§ 3.3.6. Примесная проводимость полупроводников
- •3.3.7. Контакт двух металлов по зонной теории
- •3.3.8. Контакт электронного и дырочного полупроводников
- •3.3.9. Полупроводниковые диоды и триоды
- •Тема 3.4. Квантовые свойства излучения и их
- •§ 3.4.1. Тепловое излучение и его характеристики
- •§ 3.4.2. Закон Кирхгофа
- •§ 3.4.3. Законы Стефана — Больцмана и смешения Вина
- •§ 3.4.4. Виды фотоэлектрического эффекта.
- •§ 3.4.5. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
- •§ 3.4.6. Фотон и его характеристики
- •§ 3.4.7. Эффект Комптона
- •Тема 3.5. Атомное ядро и ядерные силы
- •§ 3.5.1. Состав атомного ядра и его характеристики
- •§ 3.5.2. Дефект массы и энергия связи ядра
- •§ 3.5.4. Ядерные силы
- •§ 3.5.5. Радиоактивность
- •§ 3.5.6. Закон радиоактивного распада.
- •§ 3.5.9. Ядерные реакции
- •§ 3.5.12. Реакции деления ядра и цепные реакции деления
- •§ 3.5.13. Понятие о ядерной энергетике
- •§ 3.5.14. Реакция синтеза атомных ядер
§ 3.1.6. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
с бесконечно высокими «стенками»
Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)
где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 2).
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде
. (1)
Рис. 2
По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х = 1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид
Ψ (0) = Ψ (l) = 0. (2)
В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ 0) уравнение Шредингера (1) сведется к уравнению
или . (3)
где k 2 = 2mE / ħ2. (4)
Общее решение дифференциального уравнения (3):
Ψ (x) = A sin kx + B cos kx.
Так как по (2) Ψ (0) = 0, то В = 0. Тогда
Ψ (x) = A sin kx. (5)
Условие Ψ (l) = A sin kl = 0 (2) выполняется только при kl = nπ, где n – целые числа, т.е. необходимо, чтобы
k = nπ / l. (6)
Из выражений (4) и (6) следует, что
(n = 1, 2, 3,…), (7)
т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еп, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еп частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется.
Квантованные значения энергии Еп называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еп, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.
Подставив в (5) значение k из (6), найдем собственные функции:
.
Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде
.
В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид
(n = 1, 2, 3,…). (8)
Графики собственных функций (8), соответствующие уровням энергии (7) при n = 1,2,3, приведены на рис. 3, а. На рис. 3, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная Ψn(x) 2 = Ψn(x)·Ψn*(x) для п=1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п= 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен
. (9)
Например, для электрона при размерах ямы l = 10 –1 м (свободные электроны в металле), ΔЕn ≈ 10-35·n Дж ≈ 10 –16 n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то для электрона ΔЕn ≈ 10 –17n Дж ≈ 102n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).
Рис. 3
Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.
Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная π2 ħ2 /(2т12). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δх частицы в «яме» шириной l равна Δх = l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Δр ≈ h / l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Еmin ≈ (Δp)2/(2m) = ħ2 / (2ml2). Все остальные уровни (п > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.
Из формул (9) и (7) следует, что при больших квантовых числах (n»1) ΔЕn / Eп ≈ 2/п « 1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.