14)Цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой: методы математического описания во временной области, алгоритмы обработки и структуры.

ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (БИХ)

Как было упомянуто ранее, КИХ-фильтры не имеют реальных аналоговых эквивалентов. Самой близкой аналогией является фильтр скользящего среднего с взвешиванием. Кроме того, частотные характеристики КИХ-фильтров имеют только нули и не имеют полюсов. С другой стороны, БИХ-фильтры имеют традиционные аналоговые эквиваленты (фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптический и Бесселя) и могут быть проанализированы и синтезированы с использованием традиционных методов проектирования фильтров.

БИХ-фильтры получили такое название, потому что их импульсные характеристики растянуты на бесконечном временном интервале. Это объясняется тем, что данные фильтры являются рекурсивными, то есть используют обратную связь. Хотя БИХ-фильтры могут быть реализованы с меньшим, чем КИХ-фильтры, количеством вычислений, БИХ-фильтры не могут иметь таких характеристик, которыми обладают КИХ-фильтры. Более того, БИХ-фильтр не имеет линейной фазовой характеристики. Но вычислительные преимущества БИХ-фильтра теряются, когда выходной сигнал фильтра подвергается децимации, поскольку в этом случае всякий раз приходится вычислять заново значение выходной величины.

БИХ-фильтры обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называются биквадратными фильтрами, потому что описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев. Например, фильтр шестого порядка требует трех биквадратных звеньев.

ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (БИХ) Рис. 6.31

􀂄Имеют обратную связь (рекурсия)

􀂄Импульсная характеристика имеет бесконечную длительность

􀂄Потенциально нестабильны

􀂄Нелинейная фазочастотная характеристика

􀂄Более эффективны, чем КИХ-фильтры

􀂄Нет вычислительных преимуществ при децимации по выходу

􀂄Обычно проектируется по характеристике аналогового фильтра

􀂄Обычно реализуется каскадным соединением звеньев второго порядка (биквадратные фильтры)

Структура биквадратного БИХ-фильтра представлена на рис.6.32. Нули формируются коэффициентами прямой связи b0, b1 и b2; а полюса (порядок) определяются коэффициентами обратной связи a1 и a2.

Расчет БИХ фильтров во временной области

Наряду с методами расчета фильтров, обладающих заданными частотными характеристиками, существуют методы расчета фильтров с заданными импульсными характеристиками. Пусть z-преобразование импульсной характеристики h(k) фильтра равно

(1)

причем требуется, чтобы импульсная характеристика аппроксимировала заданную последовательность g(k) в диапазоне 0 ≤ k ≤ Р-1. Используя различные предположения, Баррас и Парке, а также Брофи и Салазар и другие авторы показали, что можно найти такой набор коэффициентов аi и bi что

(2)

будет минимальной. Здесь w(k) — положительная весовая функция последовательности ошибки. Поскольку характеристика h(k) нелинейно зависит от параметров фильтра {аi} и {bi}, в общем случае задача минимизации е может быть решена только методом последовательных приближений. В частном случае, когда Р = n+m-1, искомые параметры фильтра, минимизирующие величину , можно найти, решив систему из (n+m) линейных уравнений. Рассмотрим этот метод подробнее. Для этого (считая, что а0= b0=1) представим импульсную характеристику фильтра в виде

(3)

(4)

В предположении, что g(k)= h(k) при k = 1, 2, . . ., m, решим систему уравнений вида (4.141) относительно коэффициентов ai, что дает g(k) = h(k) при k = m + 1, m + 2, . . ., m + n. Решив систему уравнений вида (4.140) при определенных значениях ai, найдем такие значения коэффициентов bi, для которых g(k} = h(k) при k = 1, 2, . . ., m. Эта процедура сводится к приравниванию первых (n+m+1) членов степенного разложения передаточной функции (1) z-преобразованию заданной импульсной характеристики фильтра g(k), усеченному за (n+m)-м членом. Такой метод аппроксимации степенных рядов рациональной функцией часто называют аппроксимацией Падэ. При аппроксимации заданной импульсной характеристики цифрового фильтра путем воспроизведения ее первых (n+m+1) отсчетов предполагается, что в целом импульсная и частотная характеристики получаемого в результате аппроксимации фильтра не будут существенно отличаться от заданных характеристик. Однако простого метода для нахождения хотя бы даже приближенно оценок отклонений любой из этих характеристик пока не существует. Приведем несколько конкретных примеров использования Лого метода для расчета КИХ-фильтров (примеры взяты из статьи Брофи и Салазара).

На рис. 6 и 7 представлены характеристики двух фильтров, рассчитанных с использованием аппроксимации Падэ, которые предназначены для работы в системах передачи данных. Кривая А на рис. 6 представляет собой требуемую амплитудную характеристику полосового фильтра. Частота дискретизации в данном и последующем примерах равна 7200 Гц. Этот фильтр должен обладать следующими характеристиками: ослабление на 3 дБ на частотах 200 и 3200 Гц, размах пульсаций в полосе пропускания менее 0,25 дБ, линейные фазовые характеристики в полосе пропускания и крутизна спада в полосе непропускания не менее 12 дБ на октаву. Кривой Б представлена амплитудная характеристика фильтра 24-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации Падэ. Наибольшая абсолютная величина ошибки отсчетов импульсной характеристики фильтра равна 0,0018. Фазовая характеристика рассчитанного фильтра приведена на рис. 6 внизу.

Аналогичные кривые для полосового фильтра 10-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации амплитудной характеристики в предположении, что она имеет спады косинусоидальной формы, пред ставлены на рис. 7.

рис. 6. Расчет полосового фильтра с использованием аппроксимации методом Падэ (по Брофи и Салазару)

Необходимо учитывать, что, так как при аппроксимации методом Падэ фильтр рассчитывается только во временной области, получающаяся при этом аппроксимация амплитудной характеристики в частотной области, как правило, не обеспечивает в полосе непропускания ослабления, превышающего 40 дБ. Однако коэффициенты фильтра, найденные этим методом, часто можно использовать в качестве начальных значений при расчете БИХ-фильтров, обладающих заданными частотными свойствами, более сложными методами оптимизации.

Рис. 7. Расчет полосового фильтра с использованием аппроксимации методом Падэ (по Брофи и Салазару)

АППАРАТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ БИХ-ФИЛЬТРА ВТОРОГО ПОРЯДКА (БИКВАДРАТНОГО) ФОРМА 1

Рис. 6.32

Общее уравнение цифрового фильтра, представленное на рис.6.32, описывает обобщенную передаточную функцию H(z), которая содержит полиномы и в числителе, и в знаменателе. Корни знаменателя определяют расположение полюсов фильтра, а корни числителя характеризуют расположение нулей. Хотя существует возможность создания непосредственно по этому уравнению БИХ-фильтра более высокого порядка (так называемая прямая реализация), накапливающиеся ошибки квантования (из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова) могут вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать прямую форму реализации. Данные при вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных.

Первая прямая форма биквадратного звена, представленная на рис.6.32, требует использования четырех регистров. Эта конфигурация может быть заменена эквивалентной схемой, представленной на рис.6.33, которая называется второй прямой формой реализации и требует использования только двух регистров. Можно показать, что уравнения, описывающие биквадратный БИХ-фильтр второй прямой формы реализации, такие же, как и уравнения первой прямой формы реализации. Как и в случае КИХ-фильтра, система обозначений при изображении БИХ-фильтра часто упрощается, как показано на рис.6.34.