16. Задача синтеза рекурсивных цифровых фильтров. Синтез рекурсивных цифровых фильтров по аналоговому прототипу. Билинейное преобразование.

Процесс проектирования рекурсивного фильтра заключается в задании необходимой передаточной характеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим z-преобразованием для перехода в z-область. Первые две операции хорошо отработаны в теории аналоговой фильтрации сигналов, что позволяет использовать для проектирования цифровых фильтров большой справочный материал по аналоговым фильтрам. Последняя операция является специфичной для цифровых фильтров.

Для алгебраического преобразования непрерывной передаточной функции в многочлен по z используется билинейное преобразование, известное в теории комплексных переменных под названием дробно-линейного преобразования.

Рис. 9.1.2. Каскадная форма РЦФ.

Рис. 9.1.3. Параллельная форма РЦФ.

17. Определение и свойства прямого и обратного дискретного преобразования Фурье.

это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трёхмерные.

http://www.dsplib.ru/content/propdft/propdft.html

выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье

где - оператор ДПФ, а - оператор обратного ДПФ

Свойство 1. Линейность

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если то спектр равен:

(2)

При умножении сигнала на константу спектр сигнала также умножается на константу:

Свойство 2. Временной сдвиг

Пусть сигнал имеет спектр . Если сдвинуть сигнал циклически на отсчетов, т.е. , то спектр сдвинутого сигнала равен:

(4)

Введем замену переменной , тогда и выражение (4) можно переписать:

(5)

Таким образом циклический сдвиг сигнала на приводит к повороту фазового спектра, а амплитудный спектр не меняется. Выражение (5) справедливо только для циклического сдвига

Свойство 3. ДПФ циклической свертки сигналов

Пусть сигнал есть результат циклической свертки сигналов и : (6)

Рассчитаем спектр сигнала :

(7)

Поменяем местами операции суммирования:

(8)

При выводе выражения (8) было использовано свойство временного сдвига. Таким образом можно сделать вывод о том, что спектр циклической свертки двух сигналов равен произведению спектров этих сигналов. Это свойство позволяет использовать быстрые алгоритмы ДПФ для вычисления свертки.

Свойство 5. Свойство частотного сдвига

Пусть сигнал имеет спектр . Произведем циклический сдвиг спектра и рассмотрим ОДПФ, тогда:

(12)

Таким образом получили, что сдвиг спектра осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту. Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.

Свойство 6. Инверсия спектра действительного сигнала

Инверсия по частоте спектра действительного сигнала показана на рисунке 2.

Если - спектр сигнала , то инверсный спектр равен:

(13)

Тогда сигнал с инверсным спектром, согласно (12) свойству о частотном сдвиге спектра равен:

(14)

Таким образом, для инверсии спектра сигнала достаточно каждый второй отсчет сигнала умножить на минус единицу. При этом умножение на минус единицу четных отсчетов соответствует циклическому сдвигу спектра вправо на спектральных отсчетов, а умножение нечетных отсчетов соответствует циклическому сдвигу спектра влево на спектральных отсчетов.

Свойство двойственности

заключается в том, что все свойства ДПФ справедливы как для сигнала так и для спектра