8) Обратное z-преобразование. Методы его вычесления.

10. Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой: методы описания, характеристики, структуры.

Вообще, дискретный фильтр — это произвольная система обработки дискретного сигнала, обладающая свойствами линейности и стационарности. Линейность означает, что выходная реакция на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные на вход по отдельности, а стационарность — что задержка входного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы.

Любой фильтр обладает определенной частотной характеристикой. Чтобы она была нетривиальной, то есть, чтобы коэффициент передачи фильтра на разных частотах был разным, выходной сигнал фильтра y(k) должен зависеть от нескольких отсчетов входного сигнала x(k). Таким образом, дискретный фильтр должен обладать памятью.

Чтобы обеспечить линейность и стационарность, производимые фильтром математические операции должны ограничиваться сложением и умножением на константы.

Рассмотрим простейший пример. Пусть выходной сигнал фильтра равен сумме двух последних отсчетов входного сигнала:

y(k) =x(k) + x(k- 1).

Убедимся в том, что эта система по-разному пропускает на выход сигналы разных частот. Для начала подадим на вход фильтра серию одинаковых отсчетов (то есть сигнал нулевой частоты):

Как видите, уровень постоянного сигнала фильтр увеличил в два раза. Теперь подадим на вход отсчеты, одинаковые по модулю, но с чередующимися знаками (то есть отсчеты гармонического сигнала с частотой Найквиста):

В отличие от постоянного сигнала, сигнал с частотой Найквиста на выход просто не прошел. Далее попробуем что-нибудь промежуточное, например сигнал с частотой, равной половине частоты Найквиста:

На выходе в данном случае получаются отсчеты синусоиды, имеющей в раз большую амплитуду и некоторый фазовый сдвиг по сравнению со входным сигналом. Рассмотренный пример представляет собой простейший случай нерекурсивного фильтра. Такие фильтры суммируют некоторое число входных отсчетов, умножая их при этом на постоянные весовые коэффициенты.

Прежде всего, следует отметить, что в общем случае при вычислении очередного выходного отсчета y(k) используется информация двух типов: некоторое количество отсчетов входного сигнала и некоторое количество предыдущих отсчетов выходного сигнала. Ясно, что хотя бы один отсчет входного сигнала должен участвовать в вычислениях; в противном случае выходной сигнал не будет зависеть от входного. В противоположность этому, предыдущие отсчеты выходного сигнала могут и не использоваться. Уравнение фильтрации в этом случае приобретает следующий вид:

Количество используемых предыдущих отсчетов т называется порядком фильтра.

Структурная схема, реализующая алгоритм (4.15), приведена на рис. 4.3. Некоторое количество предыдущих отсчетов входного сигнала хранится в ячейках памяти, которые образуют дискретную линию задержки. Эти отсчеты умножаются на коэффициенты b_i, и суммируются, формируя выходной отсчет y(k).

Согласно свойствам z-преобразования, задержка дискретной последовательности на один такт соответствует умножению ее z-преобразования на z^-1. Поэтому элементы памяти, осуществляющие такую задержку, обозначены на структурной схеме как «z^-1».

Так как при вычислениях не используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называются нерекурсивными (nonrecursive). Применяется также термин «трансверсальный фильтр» (от английского transversal — поперечный).

Импульсная характеристика нерекурсивного фильтра определяется очень просто. Подставим в уравнение (4.15) единичный импульс x₀(k) в качестве входного сигнала:

Но отсчет x₀(k - i) равен нулю для всех k, кроме k = i, когда этот отсчет равен единице. Поэтому мы получаем очень простой результат:

то есть коэффициенты b_i являются отсчетами импульсной характеристики фильтра. Это можно наглядно пояснить с помощью рис. 4.3. При подаче на вход единичного импульса он будет перемещаться по линии задержки, умножаться на коэффициенты b₀, b₁ b₂, ... и проходить на выход устройства (ведь все остальные входные сигналы сумматора при этом равны нулю). Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров — фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры; английский термин — finite impulse response, FIR).

Вследствие отсутствия обратных связей любой нерекурсивный фильтр является устойчивым - ведь каковы бы ни были начальные условия (то есть отсчеты, хранящиеся в линии задержки), при отсутствии сигнала на входе (x(k) = 0) выходной сигнал (свободные колебания) будет отличен от нуля в течение не более чем т тактов, необходимых для очистки линии задержки.

Простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к тому, что нерекурсивные фильтры широко применяются на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик (например, полосовых фильтров с высокой прямоугольностью АЧХ) необходимы нерекурсивные фильтры высокого порядка - до нескольких сотен и даже тысяч.

Очень важное значение имеет тот факт, что нерекурсивные фильтры позволяют легко обеспечить линейную ФЧХ, а значит, постоянные (не зависящие от частоты) групповую и фазовую задержки. Для этого необходима лишь симметрия импульсной характеристики. Эта симметрия может быть двух типов:

□ четная симметрия (even symmetry): b_k = b_N-k для всех k = 0, 1, ..., N;

□ нечетная симметрия (odd symmetry): b_k = -b_N-k для всех k = 0, 1, ..., N.

Иногда под симметричными подразумевают только характеристики с четной симметрией, а для нечетной симметрии используют термин «антисимметричные».

Групповая задержка для симметричных фильтров не зависит от частоты и равна N/2 отсчетов.

При четном N и нечетной симметрии импульсной характеристики, очевидно, ее средний отсчет должен быть равен нулю: b_N/2 = 0. Кроме того, четность или нечетность порядка фильтра и наличие того или иного типа симметрии накладывают определенные ограничения на коэффициенты передачи фильтра на нулевой частоте и на частоте Найквиста. Эти ограничения легко получить из условий симметрии и формулы для комплексного коэффициента передачи фильтра. Сочетание четности порядка фильтра и типа симметрии дает четыре типа симметричных фильтров, перечисленных в табл. 4.1 вместе с указанными ограничениями значений АЧХ. Приведенные в таблице номера типов часто используются в зарубежной литературе.