26.Использование дпф для обработки конечной последовательности отсчетов. Алгоритм обработки.

27. Эффекты квантования в цифровых фильтрах, шумы квантования

            В реальных устройствах, реализующих алгоритмы цифровой обработки сигналов, необходимо учитывать эффекты, обусловленные квантованием входных сигналов и конечной разрядностью всех регистров. Источниками ошибок в процессах обработки сигналов являются округление (или усечение) результатов арифметических операций, шум квантования, связанный с аналого-цифровым преобразованием входных аналоговых сигналов, неточность реализации характеристик цифровых фильтров из-за округления их коэффициентов.  Для анализа эффектов, связанных с конечной разрядностью представления данных, необходимо сделать некоторые предположения относительно статистической независимости различных источников шумов, возникающих в цифровом фильтре. Принимается статистическая модель, основанная на следующих предположениях:

1.     Любые два отсчета шума от одного и того же источника не коррелированы.

2.     Любые два источника шума создают некоррелированные шумы.

3.     Шум каждого из источников не коррелирован с входным сигналом.

Эти предположения значительно упрощают анализ процессов, связанных с шумами квантования в цифровых фильтрах, поскольку делают отдельные источники шума статистически независимыми друг от друга и дают возможность проводить анализ для каждого из них отдельно. Однако, принятые предположения справедливы далеко не всегда. Можно привести множество примеров, для которых эти предположения не верны. Например, если входной сигнал является постоянным или синусоидальным, с частотой кратной частоте дискретизации. В первом случае все отсчеты ошибки квантования будут одинаковы, а во втором они образуют периодическую последовательность. Таким образом, в обоих случаях выдвинутые предположения неверны.

            Эффекты квантования приводят в конечном итоге к погрешностям в выходных сигналах цифровых фильтров, а в некоторых случаях и к неустойчивым режимам работы. В силу принятых допущений выходная ошибка цифрового фильтра вычисляется как суперпозиция ошибок, обусловленных каждым независимым источником.

            Если на вход цифрового фильтра с импульсной характеристикой h(t) поступает сигнал x(t), то выходной сигнал фильтра определяется выражением

                                                                                (9.1).

В результате квантования входного сигнала образуется шум квантования e_in(n), который накладывается на входной сигнал и воздействует на фильтр. В силу линейности фильтра можно вычислить реакцию фильтра e_out(n) на входной шум

                                                                           (9.2).

При этом подразумевается что все вычислительные устройства и запоминающие устройства фильтра имеют бесконечную разрядность.

            Аналогично можно найти ошибку сигнала в любой точке структурной схемы фильтра, обусловленную шумом квантования входного сигнала e_in(n).

                                                                             (9.3),

где h_i(n) – импульсная характеристика части фильтра от его входа до точки, в которой оценивается ошибка.

            Если входной сигнал фильтра квантуется с разрядностью b_in, то ошибка квантования входного сигнала при использовании округления ограничена величиной

                                                                  (9.4),

а ошибка выходного сигнала фильтра, вызванная квантованием входного сигнала может быть оценена как

                       (9.5).

Таким образом, верхняя граница ошибки, вызванной квантованием входного сигнала, зависит от разрядности квантования и от суммы модулей выборок импульсной характеристики фильтра.

            Дисперсия входного шума округления

                                                                                       (9.6),

поэтому дисперсия шума квантования на выходе фильтра в соответствии с (9.3) равна

                                                          (9.7).

Согласно равенству Парсеваля

                                                                       (9.8)

можно записать (9.7) в виде

                                                                       (9.9),

где   - амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра.

Таким образом, по допустимой величине _out² и известной АЧХ или импульсной характеристике фильтра можно определить допустимую величину дисперсии ошибки входного сигнала _in², которая в свою очередь определяет требуемую разрядность b_in квантования входного сигнала.

Отношение сигнал-шум на выходе фильтра, которое определяется как отношение мощности сигнала к мощности шума в логарифмическом масштабе определяется как

         (9.10),

где _s² – дисперсия полезного входного сигнала, а b_in – разрядность квантования входного сигнала. Следовательно, при увеличении разрядности квантования на один разряд отношение сигнал-шум увеличивается примерно на 6 дБ.