2. Системы цифровой обработки сигналов: основные свойства, классификация и характеристики. Математические модели и описания дискретных сигналов во временной и частотной области.

1. Дискретные системы

а) Линейные- удовлетворяют принципу суперпозиции

Т{ax₁[n]+ b₁x₂[n]}=aT{x₁[n]}+ bT{x₂[n]}

T{.}-оператор обработки дискретной системы

Пример линейной системы скользящее среднее y[n]=

б) Нелинейные системы не удовлетворяют принципу суперпозиции

Простой пример: y[n]=

2. Дискретные системы:

а)Стационарные

К ним относят системы, для которых сдвиг входной последовательности, приводит к соответствующему сдвигу выходной последовательности

y[n]=T{x[n]} и y[n-n₀]=T{x[n-n₀]}

б) Не стационарные

3. Дискретные системы:

а) Причинные(казуальные).

Систему называют причинной если член входной последовательности с номером n₀ зависит только от членов входной последовательности, номер которых не превышает n₀.

Есть x₁[n], x₂[n]

Если x₁[n]=x₂[n] при nn₀, то y₁[n]=y₂[n] при nn₀

Пример: Левая разностная схема y[n]=x[n]-x[n-1]

б) Не причинные

Пример: Правая разностная система y[n]=x[n+1]-x[n]

Важным свойством системы является устойчивость:

|x[n]|

Пример не устойчивой системы:

Математическое представление сигнала:

а) во временной области дискретные сигналы можно описать в виде последовательности:

X={X[n]}, где n=-,…,-1,0,1,…+

X[n]=X_a(nT), где Т- шаг дискретизации. f_д=1/T- частота дискретизации

б) во временной области дискретные сигналы описываются дискретным преобразованием Фурье, интегралом Фурье, z-преобразованием.

4. Дискретизация сигналов по времени и квантование сигналов по уровню. Ошибки квантования и дискретизации.

Дискретизация непрерывного сигнала – обычно используется равномерная дискретизация.

Идеальный непрерывный дискретный преобразователь:

x[n]=x_L(nT), T – период дискретизации

В конвертере преобразуется в последовательность чисел:

В общем случае процесс дискретизации необратим.

- частота дискретизации.

Ω_S-Ω_N>Ω_N => Ω_S>2Ω_N (теорема Котельникова)

Процесс дискретизации является обратимым, если выполняется теорема Котельникова.

Квантование

m[n] – нулевой (коррелирован с исходным сигналом), но при уменьшении Δi можно считать, что m[n] не коррелирован с x[n]. Считается, что m[n] имеет равномерную плотность распределения.

– дисперсия

Неравномерное квантование

значение отсчетов меняется быстро.

нелин. хар-ка квантователя (улучшен. качество речи)

Ошибки дискретизации вызваны двуя причинами: Во-первых, в восстановленном сигнале отсутствуют спектральные составляющие сигнала с частотами - их обрезает фильтр. Во-вторых, в сигнале имеются компоненты "хвостов" сдвинутых спектров, попадающие в полосу фильтра.

Будем рассматривать квантование с равномерным шагом Dx=const, т.е. равномерное квантование.

В процессе квантования неизбежно возникает ошибка квантования. Последовательность ошибок квантования, возникающая при квантовании процесса с дискретным временем, называется шумом квантования. Обычно шум квантования предполагают стационарным эргодическим случайным процессом.

Чаще всего интерес представляют максимальное значение ошибки квантования, ее среднее значение, равное математическому ожиданию шума и среднеквадратическое отклонение , равное квадратному корню из дисперсии шума (она характеризует мощность шума квантования). Все эти величины зависят от способа округления, применяемого при квантовании, кроме того зависят от закона распределения мгновенных значений сигнала в пределах шага квантования.