сборник НПК 2013

материалы XVI научно-практической конференции Научного Общества Учащихся МБОУ гимназии №6 г.Воронежа

С другой стороны, Советский Союз получил опыт ведения войны в зимнее время, на лесисто-болотистой территории, опыт прорыва долговременных укреплений и борьбы с противником, применяющим тактику партизанской войны.

Германия была связана договором с СССР и не могла публично оказывать поддержку Финляндии, о чѐм дала понять ещѐ до начала военных действий. Ситуация изменилась после крупных поражений Красной Армии. В феврале 1940 в Берлин для прощупывания возможных изменений был направлен Тойво Кивимяки (впоследствии посол). Отношения поначалу были прохладными, но резко изменились, когда Кивимяки заявил о намерении Финляндии принять помощь западных союзников. 22 февраля финскому посланнику срочно организовали встречу с Германом Герингом, вторым человеком в Рейхе. По воспоминаниям Р. Нордстрѐма конца 1940-х, Геринг неофициально пообещал Кивимяки, что Германия в будущем нападѐт на СССР: «Запомните, что вам стоит заключить мир на любых условиях. Гарантирую, что когда через короткий срок мы пойдѐм войной на Россию, вы получите всѐ назад с процентами.» Кивимяки немедленно сообщил об этом в Хельсинки.

Итоги советско-финской войны стали одним из факторов, определившим сближение Финляндии с Германией; кроме того, они могли определѐнным образом воздействовать и на руководство Рейха в отношении планов нападения на СССР. Для Финляндии сближение с Германией стало средством сдерживания нарастающего политического давления со стороны

СССР. Участие Финляндии во Второй мировой войне на стороне стран Оси в финской историографии получило название «Война-продолжение», с целью показать взаимосвязь с Зимней войной.

131

материалы XVI научно-практической конференции Научного Общества Учащихся МБОУ гимназии №6 г.Воронежа

СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА - ИНФОРМАТИКА И ИКТ»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАЙНЫ ЕГИПЕТСКИХ ПИРАМИД (КОВШОВА ЕЛЕНА)

Ковшова Елена, 7А класс учитель Охотенко Н.Н.

Гипотеза: совершенство формы пирамиды обусловлено математическими законами, заложенными в ее форму.

Цель: изучив пирамиду как геометрическое тело, дать объяснение совершенству ее формы.

Задачи:

1.Дать математическое определение пирамиде.

2.Изучить пирамиду как геометрическое тело.

3.Понять, какие математические знания египтяне заложили в своих пирамидах.

Частные вопросы:

10.Что представляет собой пирамида как геометрическое тело?

11. Как можно объяснить уникальность формы пирамиды с математической точки зрения? 12.Чем объясняются геометрические чудеса пирамиды?

13.Чем объясняется совершенство формы пирамиды?

Определение пирамиды

ПИРАМИДА (от греч. pyramis, род. п. pyramidos) - многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину (рисунок). По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

ПИРАМИДА - монументальное сооружение, имеющее геометрическую форму пирамиды (иногда также ступенчатую или башнеобразную). Пирамидами называют гигантские гробницы древнеегипетских фараонов 3-2-го тыс. до н. э., а также древнеамериканские постаменты храмов (в Мексике, Гватемале, Гондурасе, Перу), связанные с космологическими культами.

Возможно, что греческое слово ―пирамида‖ происходит от египетского выражения per-em- us т.е. от термина, означавшего высоту пирамиды. Выдающийся русский египтолог В. Струве полагал, что греческое ―puram…j‖ происходит от древнеегипетского ―p'-mr‖ .

Из истории. Изучив материал в учебнике ―Геометрия 10 -11‖ авторов Атанасяна. Бутузова и др., мы узнали, что: Многогранник, составленный из п - угольника А1А2А3 … Аn и п треугольников РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – называется пирамидой. Многоугольник А1А2А3 … Аn – основание пирамиды, а треугольники РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – боковые грани пирамиды, Р – вершина пирамиды, отрезки РА1, РА2,…, РАn – боковые ребра.

Однако такое определение пирамиды существовало не всегда. Например, древнегреческий математик, автор дошедших до нас теоретических трактатов по математике Евклид, пирамиду определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке.

Но это определение подвергалось критике уже в древности. Так Герон предложил следующее определение пирамиды: ―Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник‖.

Наша группа, сравнив эти определения, пришла к выводу о том, что в них нет четкой формулировки понятия ―основание‖.

Мы исследовали эти определения и нашли определение Адриена Мари Лежандра, который в 1794 году в своем труде ―Элементы геометрии‖ пирамиду определяет так: ―Пирамида – телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания‖.

Нам кажется, что последнее определение дает четкое представление о пирамиде, так как в нем идет речь о том, что основание - плоское. В учебнике 19 века фигурировало еще одно определение пирамиды: ―пирамида – телесный угол, пересеченный плоскостью‖.

Пирамида как геометрическое тело.

Т. о. пирамидой называется многогранник, одна из граней которого(основание) - многоугольник, остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие одну общую вершину (вершину пирамиды).

132

материалы XVI научно-практической конференции Научного Общества Учащихся МБОУ гимназии №6 г.Воронежа

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой h пирамиды.

Помимо произвольной пирамиды, существуют правильная пирамида, в основании которой правильный многоугольник и усеченная пирамида.

На рисунке – пирамида PABCD, ABCD – ее основание, PO – высота.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Sполн = Sбок + Sосн, где Sбок – сумма площадей боковых граней. Объѐм пирамиды находится по формуле:

V=1/3Sосн.h, где Sосн. - площадь основания, h - высота.

Виды пирамид.

Площадь боковой грани правильной пирамиды выражается так: Sбок. =1/2P h, где Р - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема правильной пирамиды ). Если пирамида пересечена плоскостью A‘B‘C‘D‘, параллельной основанию, то:

1)боковые рѐбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2)в сечении получается многоугольник A‘B‘C‘D‘, подобный

основанию; 3) площади сечения и основания относятся как квадраты их

расстояний от вершины.

Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром.

133

материалы XVI научно-практической конференции Научного Общества Учащихся МБОУ гимназии №6 г.Воронежа

устойчивую конструкцию. Именно так построены египетские пирамиды, Самая высокая пирамида

– пирамида Хеопса, или Большая пирамида. В древности ее высота достигала 148 метров. Сторона квадратного основания равна 233 метрам, а площадь основания превышает 54 000квадратных метров. Общий объем всего сооружения – более 2 500 000кубических метров. Сложена пирамида из 2 300 000 каменных глыб весом свыше 2-х тонн каждая. Глыбы со всех сторон гладко отшлифованы. Это значит, что строителям пришлось обработать около 14 000 000 поверхностей, так как каждый монолит имел 6 граней. Все поверхности отшлифованы с такой математической точностью, что, соединив их, между ними нельзя просунуть тонкое лезвие ножа.

Анализ других египетских пирамид показывает, что египтяне всегда стремились воплотить в своих пирамидах некоторые важные математические знания. В этом отношении весьма интересной является пирамида Хефрена. Измерения пирамиды показали, что угол наклона боковых граней в ней равен 53°12', что отвечает отношению катетов прямоугольного треугольника 4:3. Такое отношение катетов соответствует хорошо известному прямоугольному треугольнику со сторонами 3:4:5, который называют "совершенным", "священным" или "египетским" треугольником. По свидетельству историков, "египетскому" треугольнику придавали магический смысл. Плутарх писал, что египтяне сравнивали природу Вселенной со "священным" треугольником; они символически уподобляли вертикальный катет мужу, основание - жене, а гипотенузу - тому, что рождается от обоих.

Для треугольника 3:4:5 справедливо равенство: 32 + 42 = 52, которое выражает теорему Пифагора. Не эту ли теорему хотели увековечить египетские жрецы, возводя пирамиду на основе треугольника 3:4:5? Трудно найти более удачный пример для иллюстрации теоремы Пифагора, которая была известна египтянам задолго до ее открытия Пифагором.

Таким образом, гениальные создатели египетских пирамид стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого, выбрав в качестве "главной геометрической идеи" для пирамиды Хеопса - "золотой" прямоугольный треугольник, а для пирамиды Хефрена - "священный" или "египетский" треугольник.

Очень часто в своих исследованиях учѐные используют свойства пирамид с пропорциями Золотого сечения.

В математическом энциклопедическом словаре даѐтся следующее определение Золотого сечения – это гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении – деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая его часть АС является средним пропорциональным между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ.

Алгебраическое нахождение Золотого сечения отрезка АВ = а сводится к решению уравнения а : х = х : (а – х), откуда х приблизительно равно 0,62а. Отношение х можно выразить дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, где 2, 3, 5, 8, 13, 21 – числа Фибоначчи.

Геометрическое построение Золотого сечения отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливается перпендикуляр к АВ, на нѐм откладывают отрезок ВЕ = 1/2 АВ, соединяют А и Е, откладывают ДЕ = ВЕ и, наконец, АС = АД, тогда выполняется равенство АВ : СВ = 2 : 3.

Золотое сечение часто применяется в произведениях искусства, архитектуры, встречается в природе. Яркими примерами являются скульптура Аполлона Бельведерского, Парфенон. При строительстве Парфенона использовалось отношение высоты здания к его длине и это отношение равно 0,618. Окружающие нас предметы также дают примеры Золотого сечения, например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длины близкое к 0,618. Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте Золотого сечения (слайды). Каждый из нас ―носит‖ Золотое сечение с собой ―в руках‖ - это отношение фаланг пальцев.

Благодаря находке нескольких математических папирусов, египтологи узнали кое-что о древнеегипетских системах исчисления и мер. Содержавшиеся в них задачи решались писцами. Одним из самых известных является «Риндский математический папирус». Изучая эти задачки, египтологи узнали, как древние египтяне справлялись с различными количествами, возникавшими при вычислении мер веса, длины и объема, в которых часто использовались дроби, а также как они управлялись с углами.

Древние египтяне использовали способ вычисления углов на основе отношения высоты к основанию прямоугольного треугольника. Они выражали любой угол на языке градиента. Градиент склона выражался отношением целого числа, называвшимся «секед». В книге «Математика во времена фараонов» Ричард Пиллинс объясняет: «Секед правильной пирамиды -

135

материалы XVI научно-практической конференции Научного Общества Учащихся МБОУ гимназии №6 г.Воронежа

это наклон любой из четырех треугольных граней к плоскости основания, измеряемый энным числом горизонтальных единиц на одну вертикальную единицу подъема. Таким образом, эта единица измерения эквивалентна нашему современному котангенсу угла наклона. Следовательно, египетское слово «секед» родственно нашему современному слову «градиент»».

Числовой ключ к пирамидам заключен в отношении их высоты к основанию. В практическом плане - это наилегчайший способ изготовления шаблонов, необходимых для постоянной проверки правильности угла наклона на протяжении всего строительства пирамиды.

Египтологи были бы рады убедить нас в том, что каждый фараон жаждал выразить свою индивидуальность, оттого и различия углов наклона для каждой пирамиды. Но могла быть и другая причина. Возможно, все они желали воплотить разные символические ассоциации, скрытые в различных пропорциях. Однако угол пирамиды Хафры (основанный на треугольнике (3: 4: 5) проявляется в трех проблемах представленных пирамидами в «Риндском математическом папирусе»). Так что это отношение было хорошо известно древним египтянам.

Дабы быть справедливыми к египтологам, утверждающим, что древним египтянам не был известен треугольник 3: 4: 5, скажем, что длина гипотенузы 5 никогда не упоминалась. Но математические задачи, касающиеся пирамид, всегда решаются на основе секеда угла - отношения высоты к основанию. Поскольку же длина гипотенузы никогда не упоминалась, был сделан вывод, что египтяне так никогда и не вычислили длину третьей стороны.

Отношения высоты к основанию, использованные в пирамидах Гизы, несомненно, были известны древним египтянам. Возможно, что эти отношения для каждой пирамиды были выбраны произвольно. Однако это противоречит тому значению, которое придавалось числовому символизму во всех видах египетского изобразительного искусства. Весьма вероятно, что такие отношения имели существенное значение, поскольку выражали конкретные религиозные идеи. Иными словами, весь комплекс Гизы подчинялся связному замыслу, призванному отобразить некую божественную тему. Это объяснило бы, почему проектировщики выбрали разные углы наклона трех пирамид.

В «Тайне Ориона» Бьювэл и Джилберт представили убедительные доказательства связи пирамид Гизы с созвездием Ориона, в частности со звездами Пояса Ориона, Это же созвездие присутствует в мифе об Исиде и Осирисе, и есть основания рассматривать каждую пирамиду как изображение одного из трех главных божеств - Осириса, Исиды и Гора.

ЧУДЕСА "ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ"

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса (Хуфу). Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует вспомнить, какой системой мер пользовались египтяне. У египтян было три единицы длины: "локоть" (466 мм), равнявшийся семи "ладоням" (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем "пальцам" (16,6 мм).

Проведем анализ размеров пирамиды Хеопса (Рис.2), следуя рассуждениям, приведенным в замечательной книге украинского ученого Николая Васютинского "Золотая пропорция" (1990 г.).

Большинство исследователей сходятся в том, что длина стороны основания пирамиды, например, GF равна L = 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 "локтям". Полное соответствие 500 "локтям" будет, если длину "локтя" считать равной 0,4663 м.

Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются все отношения ее геометрических элементов. В чем причина различий в оценке высоты пирамиды? Дело в том, что, строго говоря, пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10 ´ 10 м, а столетие назад она была равна 6 ´ 6 м. Очевидно, что вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной.

Оценивая высоту пирамиды, необходимо учитывать такой физический фактор, как "осадка" конструкции. За длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) высота пирамиды уменьшилась по сравнению с первоначальной высотой.

Какой же была первоначальная высота пирамиды? Эту высоту можно воссоздать, если найти основную "геометрическую идею" пирамиды.

136

материалы XVI научно-практической конференции Научного Общества Учащихся МБОУ гимназии №6 г.Воронежа

Рисунок 3. "Золотой" прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t : : 1, называется "золотым" прямоугольным треугольником.

Тогда, если принять за основу гипотезу о том, что основной "геометрической идеей" пирамиды Хеопса является "золотой" прямоугольный треугольник, то отсюда легко можно вычислить "проектную" высоту пирамиды Хеопса. Она равна:

H = (L/2) ´ = 148,28 м.

Выведем теперь некоторые другие отношения для пирамиды Хеопса, вытекающие из "золотой" гипотезы. В частности найдем отношение внешней площади пирамиды к площади ее основания. Для этого примем длину катета CB за единицу, то есть: CB = 1. Но тогда длина стороны основания пирамиды GF = 2, а площадь основания EFGH будет равна SEFGH = 4.

Вычислим теперь площадь боковой грани пирамиды Хеопса SD. Поскольку высота AB треугольника AEF равна t, то площадь боковой грани будет равна SD = t. Тогда суммарная площадь всех четырех боковых граней пирамиды буде равна 4t, а отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции! Это и есть - главная геометрическая тайна пирамиды Хеопса!

В группу "геометрических чудес" пирамиды Хеопса можно отнести реальные и надуманные свойства отношений между различными измерениями в пирамиде.

Как правило, они получены в поисках неких "постоянных", в частности, числа "пи" (лудольфово число), равного 3,14159...; основания натуральных логарифмов "е" (Неперово число), равного 2,71828...; числа "Ф", числа "золотого сечения", равного, например, 0,618... и т.д. При постройке египетских пирамид было установлено, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это подтверждается новейшими измерениями.

Мы знаем, что отношение между длиной окружности и еѐ диаметром, есть постоянная величина, хорошо известная современным математикам, школьникам – это число ―Пи‖ = 3,1416… Но если сложить четыре стороны основания пирамиды Хеопса, мы получим 931,22 м. Разделив это число на удвоенную высоту пирамиды (2*148,208), мы получим 3,1416…, то есть число ―Пи‖.

Следовательно,пирамида Хеопса – единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа ―Пи‖, играющего важную роль в математике.

Можно назвать, например: 1) Свойство Геродота: (Высота)2 = 0,5 ст.осн.х Апофема; 2) Свойство В.Прайса: Высота: 0.5 ст.осн = Корень квадратный из "Ф"; 3) Свойство М.Эйста: Периметр основания : 2 Высота = "Пи"; в иной интерпретации - 2 ст.осн. : Высота = "Пи"; 4) Свойство Г.Ребера: Радиус вписанной окружности: 0,5 ст.осн. = "Ф"; 5) Свойство К.Клеппиша: (Ст.осн.)2: 2(ст.осн. х Апофема) = (ст.осн. У. Апофема) = 2(ст.осн. х Апофема) : ((2 ст.осн. X Апофема) + (ст.осн.)2). И - тому подобное. Свойств таких можно придумать множество, особенно если подключить соседние две пирамиды. Например, в качестве "Свойства А.Арефьева" можно

138

материалы XVI научно-практической конференции Научного Общества Учащихся МБОУ гимназии №6 г.Воронежа

упомянуть, что разность объемов пирамиды Хеопса и пирамиды Хефрена равна удвоенному объему пирамиды Микерина...

Многие интересные положения, в частности, о построении пирамид по "золотому сечению" изложены в книгах Д.Хэмбидж "Динамическая симметрия в архитектуре" и М.Гика "Эстетика пропорции в природе и искусстве". Напомним, что "золотым сечением" называется деление отрезка в таком отношении, когда часть А во столько раз больше части В, во сколько раз А меньше всего отрезка А + В. Отношение А/В при этом равно числу "Ф"==1,618... Указывается на использование "золотого сечения" не только в отдельных пирамидах, но и во всем комплексе пирамид в Гизе.

Самое любопытное, однако, то, что одна и та же пирамида Хеопса просто "не может" вместить в себя столько чудесных свойств. Взяв некое свойство поодиночке, его можно "подогнать", но все разом они не подходят - не совпадают, противоречат друг другу. Поэтому,если, например, при проверке всех свойств, брать исходно одну и ту же сторону основания пирамиды (233 м), то высоты пирамид с разными свойствами также будут разными. Иными словами, существует некое "семейство" пирамид, внешне сходных с Хеопсовой, но отвечающих разным свойствам. Заметим, что в "геометрических" свойствах ничего особо чудесного нет - многое возникает чисто автоматически, из свойств самой фигуры. "Чудом" же следует считать лишь что-то явно невозможное для древних египтян. Сюда, в частности, относят "космические" чудеса, в которых измерения пирамиды Хеопса или комплекса пирамид в Гизе сопоставляются с некоторыми астрономическими измерениями и указываются "ровные" числа: в миллион раз, в миллиард раз меньше, и так далее. Рассмотрим некоторые "космические" соотношения.

Одно из утверждений таково: "если разделить сторону основания пирамиды на точную длину года, то получим в точности 10-миллионную долю земной оси". Вычисли: разделим 233 на 365, получим 0,638. Радиус же Земли 6378 км.

Другое утверждение фактически обратно предыдущему. Ф.Ноэтлинг указывал, что если воспользоваться придуманным им самим "египетским локтем", то сторона пирамиды будет соответствовать "самой точной продолжительности солнечного года, выраженной с точностью до одной миллиардной дня" - 365.540.903.777.

Утверждение П.Смита: "Высота пирамиды составляет ровно одну миллиардную долю расстояния от Земли до Солнца". Хотя обычно берется высота 146,6 м, Смит брал ее 148,2 м. По современным же радиолокационным измерениям большая полуось земной орбиты составляет 149,597.870 + 1,6 км. Таково среднее расстояние от Земли до Солнца, но в перигелии оно на 5.000.000 километров меньше, чем в афелии.

Последнее любопытное утверждение:

"Чем объяснить, что массы пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина относятся друг к другу, как массы планет Земля, Венера, Марс?" Вычислим. Массы трех пирамид относятся как: Хефрена - 0,835; Хеопса - 1,000; Микерина - 0,0915. Отношения масс трех планет: Венера - 0,815; Земля -

1,000; Марс - 0,108.

Итак, несмотря на скепсис, отметим известную стройность построения утверждений: 1) высота пирамиды, как линия, "уходящая в пространство" - соответствует расстоянию от Земли до Солнца; 2) сторона основания пирамиды, ближайшая "к субстрату", то есть к Земле, отвечает за земной радиус и земное обращение; 3) объемы пирамиды (читай - массы) отвечают отношению масс ближайших к Земле планет. Похожий "шифр" прослеживается, например, в пчелином языке, проанализированном Карлом фон Фришем. Впрочем, воздержимся пока от комментариев по этому поводу.

ФОРМА ПИРАМИД

Знаменитая четырехгранная форма пирамид возникла не сразу. Скифы делали захоронения в виде земляных холмов - курганов. Египтяне ставили "холмы" из камня - пирамиды. Впервые это случилось после объединения Верхнего и Нижнего Египта, в XXVIII веке до нашей эры, когда перед основателем III династии фараоном Джосером (Зосером) стояла задача укрепления единства страны.

И здесь, по мнению историков, важную роль в укреплении центральной власти сыграла "новая концепция обоготворения" царя. Хотя царские погребения и отличались большей пышностью, они в принципе не отличались от гробниц придворных вельмож, представляли собой одни и те же сооружения - мастабы. Над камерой с саркофагом, содержащим мумию, насыпался

139

материалы XVI научно-практической конференции Научного Общества Учащихся МБОУ гимназии №6 г.Воронежа

прямоугольный холм из мелких камней, где ставилось затем небольшое здание из крупных каменных блоков - "мастаба" (по-арабски - "скамья"). На месте мастаба своего предшественника, Санахта, фараон Джосер и поставил первую пирамиду. Была она ступенчатой и являлась зримым переходным этапом от одной архитектурной формы к другой, от мастабы - к пирамиде.

Таким способом "возвысил" фараона мудрец и архитектор Имхотеп, считавшийся впоследствии волшебником и отождествляемый греками с богом Асклепием. Были воздвигнуты как бы шесть мастаб подряд. Причем первая пирамида занимала площадь 1125 х 115 метров, с предположительной высотой 66 метров (по египетским мерам - 1000 "ладоней"). Сперва архитектор замышлял построить мастабу, но не продолговатую, а квадратную в плане. Позже ее расширили, но, поскольку пристройку сделали ниже, образовалось как бы две ступени.

Такая ситуация не удовлетворила архитектора, и на верхней площадке огромной плоской мастабы Имхотеп поставил еще три, постепенно уменьшающихся к верху. Усыпальница находилась под пирамидой.

Известно еще несколько ступенчатых пирамид, но в дальнейшем строители перешли к постройке более привычных для нас четырехгранных пирамид. Почему же, однако, не трехгранных или, скажем, восьмигранных? Косвенный ответ дает тот факт, что практически все пирамиды великолепно сориентированы по четырем сторонам света, поэтому и имеют четыре стороны. К тому же пирамида была "домом", оболочкой четырехугольного погребального помещения.

Изучив пирамиду как геометрическое тело, познакомившись с ее элементами и свойствами, мы убедились в справедливости мнения о красоте формы пирамиды.

В результате наших исследований мы пришли к выводу, что египтяне, собрав самые ценные математические знания, воплотили их в пирамиде. Поэтому пирамида поистине – самое совершенное творение природы и человека.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.«Геометрия: Учеб. для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений \ Атанасян Л.С., В. Ф.Бутузов и др. – 9-е изд.- М.: Просвещение, 1999

2.Г.И. Глейзер. История математики в школе, М: «Просвещение», 1982 г.

3.И.Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 класс, М: «Просвещение», 2000 г.

4.Питер Томпкинс «Тайны великой пирамиды Хеопса»,М: «Центрополиграф»,2005 г.

ИНТЕРНЕТ – РЕСУРСЫ

1.http://veka-i-mig.narod.ru/

2.http://tambov.fio.ru/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

3.http://www.oval.ru/enc/54373.html

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ (РЕЗЦОВА, ШИПИЛОВА АННА)

Резцова София, Шипилова Анна, 5Б класс учитель математики Голубова М.Н.

Четырѐхугольник, геометрическая фигура — многоугольник с четырьмя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы.

Две не смежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые и не выпуклые.

140