Глава 04 Линейные пространства

► Действительно, пусть вектор z A x и оператор A задаётся в базисе e1,e2 , ,en симметрической матрицей:

230

Согласно теореме 4.13, в евклидовом n-мерном пространстве существует ортонормированный базис e1,e2 , ,en , состоящий из собственных векторов самосопряжённого оператора A. Для таких векторов выполняются равенства A ei iei , и в этом базисе симметрическая билинейная форма принимает следующий вид:

A(x;y) ( A x, y)

( A (x1e1 x2 e2 xn en ), y1e1 y2 e2 yn en )

( 1x1e1 2 x2 e2 n xn en , y1e1 y2 e2 yn en )

Поскольку при x y каждая симметрическая билинейная форма

превращается в квадратичную форму A(x;x), мы полагаем в (4.80)

x y и получаем следующую теорему.

Теорема 4.15. Пусть A(x;x) есть квадратичная форма в

n-мерном евклидовом пространстве. Тогда в этом пространстве существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет вид:

A(x;x) 1x12 2 x22 n xn2 ,

где i есть собственные значения соответствующего самосо-

пряженного оператора (или корни характеристического уравнения соответствующей симметрической матрицы).