Глава 04 Линейные пространства

● Действия с линейными операторами

Суммой двух операторов A и B называют оператор A B, оп-

ределяемый равенством

(A B) (x) A (x) B (x).

Аналогичным образом задают оператор, равный произведению оператора A на любое действительное число k R :

(k A )(x) k A (x).

Нулевым оператором O называют оператор, действующий по правилу

O (x) o , x V .

Нетрудно заметить, что множество линейных операторов на V с

заданными операциями сложения и умножения на число является линейным пространством. Это пространство обозначают символом

Op(V).

Если операторам A и B в некотором базисе линейного про-

странства соответствуют матрицы A и B , то оператору A B бу-

дет соответствовать сумма матриц A B, а оператору k A — мат-

рица kA.

дением (композицией) двух операторов A и B называют третий оператор C B A такой, что для x V

C (x) B( A( x)).

Композиции операторов соответствует матрица C BA.

Роль единицы при умножении операторов выполняет тождествен-

ный оператор E такой, что E (x ) x для любого x V . При

этом тождественному оператору соответствует единичная матрица

E .

Поскольку линейные операторы образуют линейное пространст-

во, то свойства операций сложения операторов и умножения опера-

тора на число уже перечислены в аксиомах линейного пространства.

Поэтому отметим здесь, как связаны между собой операции сложе-

Согласно четвертому свойству операторы вида k E, и только

они, перестановочны в умножении со всеми операторами.

● Преобразование матрицы линейного оператора при

переходе от базиса к базису

Одно и то же линейное преобразование (оператор) может иметь в

различных базисах различные матрицы. Пусть A есть матрица опе-

ратора A в базисе e1,e2 , ,en , A — матрица того же оператора

A в «новом» базисе e1 ,e2 , ,en , C — матрица перхода от «ста-

► Произвольный вектор x V может быть разложен по двум бази-

сам: x x1e1 x2 e2 xn en , x x1 e1 x2 e2 xn en ,

и каждому из этих разложений соответствует свой столбец коорди-

202 Глава 4. Линейные пространства

Действие оператора A на вектор x порождает некоторый вектор9

где, в соответствии с (4.47), Y есть столбец координат вектора y в

“старом” базисе e1,e2 , ,en . Вектор y можно разложить и по “но-

вому” базису e1 ,e2 , ,en . Тогда “старые” и ”новые” координаты

9 Для упрощения дальнейших записей, вместо обозначения y A( x) мы

будем использовать обозначение y A x.

10 Напомним, что матрица C перехода от базиса к базису всегда имеет обратную.

4.6. Собственные векторы и собственные значения

линейного оператора

Рассмотрим n-мерное векторное пространство V и линейный

оператор A :V V.

Определение 4.22. Ненулевой вектор x V называется собствен-

ным вектором линейного оператора A, если существует число

R такое, что

Изучение собственных векторов и собственных значений пред-

ставляет исключительный интерес ввиду того, что многие соотно-

шения, содержащие некоторый линейный оператор, радикально уп-

рощаются, если в качестве векторов базиса выбрать собственные векторы оператора: приведение матриц к диагональному виду, при-

ведение квадратичной формы к сумме квадратов и т.д.11

Предположим теперь, что оператор A задан в базисе e1, e2 , ,en матрицей

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

A .

an1 an2 ann

Тогда равенство (4.54) можно записать в матричном виде:

11 Билинейные и квадратичные формы обсуждаются в следующем разделе.

Матричное равенство (4.56) можно записать следующим образом:

ненулевым, т.е. система уравнений (4.57) должна иметь нетривиаль-

ные решения. Как известно, для существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений вида (4.57) необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Иными

определитель

представляет собой многочлен степени n от .

Определение 4.23. Многочлен det (A E) называется характери-

стическим многочленом оператора A, а корни этого многочлена,

т.е. решения уравнения (4.58), называются характеристическими корнями оператора A.

Отметим, что каждый характеристический корень является соб-

ственным значением оператора A и обратно. Покажем, что собст-

венные значения не зависят от выбора базиса.

Теорема 4.9. Характеристический многочлен A E не зависит от выбора базиса пространства.

► В любом базисе, отличном от e1, e2 , ,en , матрица оператора

A имеет, согласно формуле (4.48), вид C 1 AC , где C есть матри-

ца перехода от базиса e1, e2 , ,en к базису e1, e2 , ,en . Учитывая

очевидное соотношение E C 1C C 1EC, получим:

C 1AC C 1EC C 1(A E)C ,

и тогда

C 1AC E C 1 A E C 1 A E C A E .◄ C

векторы оператора A, принадлежащие собственным значениям i ,

i 1,2, ,n.

Теорема 4.10. Собственные векторы xi , принадлежащие различ-

ным собственным значениям i (i 1,2, ,n), линейно независи-

мы.

► Сначала рассмотрим случай, когда оператор A имеет единствен-

ный собственный вектор x1 o (n 1). Очевидно, этот единствен-

ный ненулевой вектор является линейно независимым, поскольку равенство 1x1 o возможно в том и только в том случае, когда

1 0.

Предположим теперь, что первые m (m n) собственных век-

торов x1 ,x2 , ,xm линейно независимы. Покажем, что если к пе-

речисленным векторам добавить (m 1)-ый собственный вектор

где коэффициенты i R. Применение к равенству (4.59) линейно-

го оператора12 A приводит к соотношению:

A ( 1 x1) A ( m xm ) A ( m 1xm 1) A (o) o

Подставляя из (4.59) в (4.60) выражение для m 1xm 1 , придем к со-

отношению:

1 1 x1 m m xm m 1( 1 x1 2 x2 m xm ) o,

откуда получим:

1 ( 1 m 1)x1 2 ( 2 m 1)x2

Учитывая, что все собственные значения различны по условию теоремы, а собственные векторы x1,x2...,xm линейно независимы по предположению, из (4.61) получим 1 2 ... m 0, и тогда

12 В соответствии с определением линейного оператора равные векторы имеют одинаковые образы.