Глава 04 Линейные пространства

образом осуществляется переход к ортонормированному семейству,

содержащему k 1 вектор?

Согласно только что доказанной лемме, вектор

мейство e1, e2 , , ek , ek 1 становится ортонормированным.

Пример 4.12. Рассмотрим алгоритм процесса ортогонализации на примере произвольного неортонормированного базиса v1,v2 ,v3,v4

четырехмерного евклидова пространства.

На первом шаге мы нормируем вектор v1, разделив его на свою собственную норму, и получим первый единичный вектор итогового базиса:

190 Глава 4. Линейные пространства

e1 v1 . v1

На втором шаге построим вектор u2 , ортогональный вектору e1 :

ортогональный каждому из векторов e1, e2 , e3 , и тогда четвертый вектор ортонормированного базиса имеет вид

e4 u4 . u4

где G есть матрица метрических коэффициентов элементов базиса

e1, e2 , , en .

Подставляя (4.34) в (4.35), с учетом свойств операции транспони-

рования матриц, получим

Предположим теперь, что оба базиса, «старый» и «новый», орто-

нормированы. Поскольку в ортонормированных базисах матрицы

ванного базиса к другому называется ортогональной матрицей.

Из равенства (4.38) следует, что матрица, обратная к ортогональ-

Иногда ортогональную матрицу определяют равенством (4.39).

В результате мы можем сформулировать следующую теорему.

Если перейти в (4.38) к определителям, то получим

CCT C CT C 2 E 1,

и поэтому определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1 :

detC 1.

Замечание. Если исходный («старый») базис e1, ,en является ор-

тонормированным (G E ) и матрица перехода C ортогональна

(т.е. удовлетворяет условию C 1 CT ), то матрица метрических коэффициентов «нового» базиса также будет единичной:

G CT EC CTC E,

и поэтому «новый» базис e1 , e2 , , en будет ортонормированным.

Определение 4.19. Ортогональная матрица называется собственной,

если её определитель detC 1.

4.5. Линейные операторы

Рассмотрим векторное пространство V размерности n.

Определение 4.20. Линейным оператором A (или линейным преоб-

разованием векторного пространства) называется отображение, ко-

Так как образы векторов базиса — векторы A (ei ), сами явля-

ются элементами пространства V , их можно разложить по базису

e1,e2 , ,en :

A (en ) a1n e1 a2n e2 ann en .

Подставляя теперь выражения (4.43) в (4.42), получим: y A (x) x1(a11e1 a21e2 an1en )

y A (x) 12e1 7e2 9e3 . ◄

Пример 4.14. Пусть в двумерном евклидовом пространстве выбран

ортонормированный базис e1,e2 . Рассмотрим преобразование пово-

рота на плоскости вокруг некоторого центра O на угол

(рис. 4.1.).

e2

e2

e1

O e1

Рис. 4.1

198 Глава 4. Линейные пространства

Нетрудно проверить, что указанное преобразование является линей-

ным. Векторы «нового» и «старого» ортонормированных базисов связаны соотношениями:

e1 cos e1 sin e2 ,

e2 sin e1 cos e2 ,

а матрица линейного преобразования имеет следующий вид:

Отметим, что матрица A является ортогональной (т.е. A 1 AT )

и собственной, поскольку A 1; такая ортогональная матрица

сохраняет ориентацию базиса. Координаты образа y A x произ-

вольного вектора x можно найти из соотношений:

Пример 4.15. Рассмотрим трехмерное пространство и линейное преобразование подобия — гомотетию с некоторым центром O и

коэффициентом k 4. При таком преобразовании векторы двух ба-

зисов связаны соотношениями:

e1 4 e1 0 e2 0 e3, e2 0 e1 4 e2 0 e3, e3 0 e1 0 e2 4 e3,

а матрица линейного преобразования в базисе e1,e2,e3 имеет вид