Глава 04 Линейные пространства

В последнем соотношении собственный вектор xm 1 o , поэто-

му m 1 0. В результате из (4.59) следует, что все коэффициенты

что в том случае, когда линейный оператор A имеет n различных собственных значений, принадлежащие этим собственным значе-

ниям собственные векторы можно выбрать в качестве базиса n-мерного линейного пространства.

Следующая теорема показывает, какой вид будет иметь матрица

А линейного оператора А в базисе из собственных векторов.

Теорема 4.11. Для того чтобы матрица А линейного оператора

А была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы векторы

базиса e1,e2 ,...,en были собственными векторами этого операто-

ра.

► Необходимость. Пусть матрица А в заданном базисе e1,e2 ,...,en

является диагональной:

210

Нам уже известно, что столбцы матрицы A образованы коорди-

натами векторов-образов А e1 , А e2 ,…, А en , в базисе e1,e2,...,en ,

поэтому, например,

А e2 0 e1 2 e2 ... 0 en 2 e2

и вектор e2 является собственным вектором оператора A, принад-

лежащим собственному значению 2 . Точно так же подтверждается любое из равенств:

надлежащими собственным значениям 1, 2 ,..., n соответственно.

Тогда

A e1 1 e1 1 e1 0 e2 ... 0 en ,

A e2 2 e2 0 e1 2 e2 ... 0 en ,

………………………………………

А en n en 0 e1 0 e2 ... n en

и матрица A линейного оператора диагональна (имеет вид (4.63)).◄

Пример. 4.17. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A, заданного в некотором базисе двумерного

пространства матрицей

Координаты собственного вектора y1 x1,x2 , принадлежащего

собственному значению 1 2, удовлетворяют системе уравнений:

212 Глава 4. Линейные пространства

● Самосопряженные операторы

Определение 4.24. Линейный оператор А в вещественном евкли-

довом пространстве V называется самосопряженным , если для лю-

бых двух векторов x и y выполняется равенство скалярных произ-

ведений:

( А x, y) (x, А y).

Самосопряженные операторы выполняют особую роль в преоб-

разованиях билинейных и квадратичных форм, поэтому следующие свойства позволяют выяснить, какой вид имеет матрица самосопря-

женного оператора, каковы его собственные значения, какими свой-

ствами обладают собственные векторы.

Теорема 4.12. Для того чтобы линейный оператор А был само-

сопряженным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормиро-

ванном базисе пространства матрица А оператора была симмет-

рической.

Ограничимся здесь лишь доказательством необходимости требо-

вания симметричности матрицы А.

► Необходимость. Пусть оператор А самосопряженный и

e1,e2 , ,en есть некоторый ортонормированный базис линейного пространства, т.е. для скалярных произведений векторов базиса вы-

полняются равенства:(ei,ej ) 0, i j; (ei,ei ) 1, i, j {1,2,...,n}.

Поскольку, по условию, оператор A — самосопряженный, ( А ej,ei) (ej , А ei ) = ( А ei,ej ),

следовательно, aij aji и матрица A оператора является симмет-

рической. ◄

Отметим следующие важные свойства самосопряжённых опера-

торов.

Все собственные значения самосопряжённого оператора являются действительными числами.

Собственные векторы самосопряжённого оператора,

принадлежащие различным собственным значениям это-

го оператора, ортогональны.

Докажем второе из свойств.

► Пусть ненулевые векторы x1 и x2 удовлетворяют соотношениям

Умножая скалярно первое равенство на вектор x2 , а второе – на век-

Так как 1 2 , из (4.68) следует, что скалярное произведение

(x1,x2 ) 0, т.е. векторы x1 и x2 ортогональны. ◄

В заключение этого раздела приведём без доказательства сле-

дующую теорему.

Теорема 4.13. В любом евклидовом вещественном пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица A са-

мосопряжённого оператора имеет диагональный вид:

0 0 n

Пример. 4.18. Указать базис пространства, в котором матрица

линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести мат-

рицу A к диагональному виду.

Найдем собственные значения матрицы как корни ха-

рактеристического уравнения:

С помощью несложных преобразований характеристическое уравнение приводится к виду:

(6 )(5 )(7 ) 8( 6) 0

или

(6 )( 2 12 27) 0,

откуда получим 1 6, 2 3, 3 9. Поскольку все собственные значения различны, а матрица A симметрическая, то оператор A

самосопряженный и соответствующие собственные векторы будут попарно ортогональны. Найдем собственные векторы.

Координаты собственного вектора, принадлежащего значе-

нию , удовлетворяют системе (4.57). Для заданной матрицы сис-

тема (4.57) принимает следующий вид:

(6 )x1 2x2 2x3 0,

2x1 (5 )x2 0 x3 0,2x1 0 x2 (7 )x3 0.

В том случае, когда 1 6, координаты собственного век-

тора y1, принадлежащего значению 1 , удовлетворяют системе уравнений:

0 x1 2x2 2x3 0,

2x1 x2 0 x3 0,

Последней расширенной матрице соответствует система вида

2x1 x3 0,x2 x3 0,

имеющая бесконечное множество решений

Полагая здесь, например, с 2, получим один из собственных векторов13, принадлежащих собственному значению 1 , — y1 ( 1,2,2). После нормирования вектора y1 получим единичный собственный вектор:

Координаты собственного вектора y3 , принадлежащего значению

13 Вместо значения с 2 можно было бы выбрать любое другое, отличное от нуля значение с.

e1,e2 ,e3 . Столбцы матрицы С образованы координатами векторов

Попробуйте самостоятельно проверить полученный результат непосредственным перемножением матриц С 1 , A и C .

4.7. Билинейные и квадратичные формы