Глава 05 Кривые и поверхности второго порядка
.pdf231
Глава 5
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе мы будем обсуждать свойства кривых и поверхностей,
которые задаются в декартовой системе координат алгебраическими уравнениями второй степени. Изучение этих геометрических объек-
тов традиционно начинают с исследования свойств трех кривых —
эллипса, гиперболы и параболы.
5.1.Эллипс
●Вывод уравнения эллипса
Определение 5.1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух задан-
ных точек плоскости (фокусов) есть величина постоянная.
Постоянную величину, которая участвует в определении эллип-
са, обозначают символом 2a.
232 |
Глава 5. Кривые и поверхности |
|
||||
|
Покажем, что в некоторой, специально выбранной декартовой |
|||||
системе координат эллипс задается уравнением вида |
|
|||||
|
|
x2 |
|
y2 |
1. |
(5.1) |
|
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
|
► Выберем декартову систему координат следующим образом. Ось абсцисс проведем через фокусы эллипса ( точки F1 и F2 ), а начало системы координат расположим в середине отрезка F1F2 (рис. 5.1) .
Предположим, что длина отрезка F1F2 равна 2c. Тогда точки F1 и
F2 в заданной системе координат имеют координаты F1( c,0)и
F2(c,0). Пусть M(x;y) есть произвольная точка эллипса, r1 и r2 —
расстояния от M до точек F1 и F2 соответственно.
y
|
|
|
|
|
|
|
M x, y |
|
|
|
r1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r2 |
x |
||
|
O |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F c,0 |
|
|
|||
F c,0 |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1.
Глава 5. Кривые и поверхности |
233 |
Согласно определению 5.1, для любой точки M(x;y) эллипса вы-
полняется равенство
|
|
|
|
|
r1 r2 |
2a, |
a 0, |
a R |
(5.2) |
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1M F2M 2a. |
|
|
|
|
||||||||
Равенство (5.2) называется фокальным свойством эллипса. |
|
||||||||||||||||
Замечание. В силу неравенства треугольника сумма любых двух |
|||||||||||||||||
сторон треугольника F1MF2 |
больше, чем его третья сторона, по- |
||||||||||||||||
этому всегда r1 r2 F1F2 |
или 2a 2c, т.е. a c. |
|
|||||||||||||||
Найдем расстояния r1 |
и r2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r =F M |
|
|
(x c)2 |
y2 |
, |
|
r =F M |
(x c)2 y2 , |
(5.3) |
||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
подставим (5.3) в (5.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(x c)2 y2 |
+ |
|
(x c)2 y2 |
2a |
|
|
(5.4) |
|||||||
и попробуем «избавиться» в последнем равенстве от радикалов. |
|||||||||||||||||
Для этого запишем (5.4) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(x c)2 y2 |
2a |
(x c)2 |
y2 |
, |
|
(5.5) |
|||||||||
возведем обе части в квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x c)2 y2 4a2 4a |
|
|
|
|||||||||||||
|
(x c)2 y2 (x c)2 y2 |
(5.6) |
ипосле элементарных алгебраических преобразований получим
x2 2xc c2 y2
4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2
234 |
Глава 5. Кривые и поверхности |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
a (x c)2 y2 a2 xc. |
Очередное возведение в квадрат обеих частей равенства приводит к равенству:
a2((x c)2 y2) a4 2a2xc x2c2 , a2(x2 2xc c2 y2) a4 2a2xc x2c2 ,
откуда после раскрытия скобок, приведения подобных членов и группировки слагаемых получим:
x2(a2 c2) a2 y2 a2(a2 c2). |
(5.7) |
Мы уже отмечали, что a c, поэтому для разности a2 c2 |
можно |
ввести обозначение a2 c2 b2 . Тогда равенство (5.7) примет сле-
дующий вид:
b2x2 a2 y2 a2b2 . |
(5.8) |
Если теперь разделить обе части (5.8) на произведение a2b2 , то по-
лучим уравнение (5.1):
x2 |
|
y2 |
1, |
a b 0, |
(5.9) |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
которое называется каноническим уравнением эллипса.
Поскольку при выводе уравнения (5.9) мы дважды использова-
ли процедуру возведения в квадрат, равенство (5.9) представляет собой алгебраическое следствие уравнения (5.2), и теперь необхо-
Глава 5. Кривые и поверхности |
235 |
димо убедиться в том, что наши действия не привели к появлению
«лишних» решений.
Покажем, что любая точка M(x, y), координаты которой удов-
летворяют уравнению (5.9), располагается на эллипсе. Для этого
достаточно проверить, что координаты x и |
|
|
y точки M удовлетво- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряют соотношению (5.2). Выразим y2 |
из канонического уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.10) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и подставим в выражение (5.3) для радиуса r1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r (x c) |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
(x c) |
2 |
|
|
(a |
2 |
x |
2 |
) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку y2 |
|
0, из (5.10) следует неравенство a2 |
x2 |
0 или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
a. Преобразуем выражение для r1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
|
x |
2 |
2xc c |
2 |
b |
2 |
|
|
b2 |
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
(1 |
|
b |
2 |
|
) 2xc c |
2 |
b |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 (a2 |
b |
2 ) |
2xc |
c |
2 |
a |
2 |
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
x2c2 |
2xc a |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
c |
x)2 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(a |
|
a |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что сумма a |
c |
x 0, поскольку |
|
|
x |
|
a и |
|
c |
1, поэто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
му
236 |
Глава 5. Кривые и поверхности |
|
||
|
r a |
c |
x. |
(5.11) |
|
|
|||
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
Точно так же получим выражение для расстояния r2 :
r a |
c |
x . |
(5.12) |
|
|||
2 |
a |
|
|
|
|
|
Суммируя (5.11) и (5.12) , придем к равенству
r1 r2 2a. ◄
Таким образом , соотношение (5.9) действительно задает эллипс,
определенный его фокальным свойством.
● Построение и исследование формы эллипса
Исследуем форму эллипса, опираясь на его каноническое уравнение:
x2 |
|
y2 |
1 . |
(5.13) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Прежде всего отметим, что эллипс обладает симметрией относи-
тельно начала и обеих осей координат (главные оси эллипса), по-
скольку его уравнение содержит переменные x и y в четной степе-
ни. Центр симметрии эллипса — начало системы координат — на-
зывается центром эллипса. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Величины a и b представ-
ляют собой расстояния от центра до вершин эллипса, так как пола-
гая в (5.13) y 0, получим x a, аналогично, если x 0, то y b . Числа a и b называются полуосями эллипса. Из канони-
ческого уравнения также следует, что точки эллипса не могут рас-
Глава 5. Кривые и поверхности |
237 |
полагаться вне прямоугольника |
x |
a , |
y |
b . При «грубом» по- |
строении эллипса сначала отмечают на осях координат вершины эллипса, затем рисуют пунктирной линией прямоугольник, в кото-
ром должны располагаться точки эллипса, и затем «от руки» прово-
дят кривую (рис. 5.2).
y
B 0,b
|
|
|
|
|
|
|
x, y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x, y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
F1 c,0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A a,0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
C( a,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 c,0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x, y |
x, y |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(0, b) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
На рисунке 5.2 вершины эллипса — точки |
A(a;0), B(0;b), |
|||||||||||||||||
C( a;0), D(0; b), |
длины отрезков AC 2a, |
BD 2b.Так как |
a b, то главная ось, образующая в пересечении с эллипсом отре-
зок AC , называется большой осью эллипса, другая главная ось на-
зывается малой осью. Фокусы эллипса – точки F1( c;0) и F2(c;0)
– располагаются на большой оси, внутри прямоугольника (внутри
эллипса), поскольку с a2 b2 a . Если оба фокуса эллипса совпадают (или если a b в каноническом уравнении), то эллипс
238 |
Глава 5. Кривые и поверхности |
превращается в окружность радиуса r a. Вообще говоря, эллипс тесно связан с окружностью. Его даже можно определить, как кри-
вую, которая получена сжатием некоторой окружности к одному из диаметров. Например, сжатие окружности в k раз «вдоль» оси Oy
задается следующим преобразованием системы координат: ~x x ,
~ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
a |
2 |
|
|||
y |
|
. При такой замене переменных окружность |
|
|
|
|
пе- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
реходит в эллипс: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
~2 |
|
k |
2 |
~2 |
|
~2 |
~2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
y |
1 или |
x |
|
y |
1 , |
где b |
a |
. |
|
|
||||
|
|
|
a2 |
|
|
a2 |
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
Наконец, отметим, что эллипс может быть задан параметрическим уравнением1:
x acost, |
0 t 2 , |
|
|
y bsint, |
|
в котором параметр t соответствует углу поворота луча OM
от положительного направления оси Ox (рис. 5.3).
y M
.
x
O
Рис. 5.3
1 Указанное параметрическое уравнение действительно задает эллипс, по-
скольку |
x2 |
|
y2 |
sin2 t cos2 t 1. |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Глава 5. Кривые и поверхности |
239 |
5.2. Гипербола
Определение 5.2. Гиперболой называется геометрическое место то-
чек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов ) есть величина посто-
янная.
Так же, как и в случае эллипса, указанную в определении по-
стоянную обозначают символом 2a. |
|
||||||||
Пусть F1 |
и F2 есть фокусы гиперболы, M — точка на гипербо- |
||||||||
ле, r1 F1M , |
r2 F2M — расстояния от M до фокусов F1 |
и F2 |
|||||||
соответственно. Согласно определению, для любой точки M гипер- |
|||||||||
болы выполняется равенство (фокальное свойство гиперболы): |
|
||||||||
|
|
r1 r2 |
|
|
2a. |
(5.14) |
|||
|
|
|
|||||||
Покажем, что существует система координат, в которой гипер- |
|||||||||
бола может быть задана уравнением вида: |
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
1. |
(5.15) |
|
|
|
a2 |
|
|
b2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (5.15) называется каноническим уравнением гиперболы. ► Выберем декартову систему координат так же, как и в случае эл-
липса (рис. 5.1). В этой системе координат фокусы гиперболы рас-
полагаются в точках F1( c,0) и F2(c,0), и для произвольной точки
M(x, y)гиперболы, согласно (5.3), получим:
240 Глава 5. Кривые и поверхности
r2 |
(x c)2 y2 |
, |
r 2 (x c)2 |
y2 , |
(5.16) |
1 |
|
|
2 |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
r |
2 r 2 |
4xc. |
|
(5.17) |
|
1 |
2 |
|
|
|
Уравнение (5.14) равносильно совокупности двух уравнений: |
|
||||
|
r1 r2 |
2a |
|
(5.18) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
r2 r1 |
2a, |
|
(5.19) |
поэтому можно догадаться, что гипербола состоит из двух «частей»
— двух ветвей, каждая из которых задается уравнением (5.18) или
(5.19) соответственно. Выберем ветвь гиперболы, связанную с урав-
нением (5.18):
r1 r2 2a ,
откуда получим |
|
|
|
r |
2 |
(r 2a)2 . |
(5.20) |
2 |
1 |
|
Из соотношения (5.17) так же, как в случае эллипса, придем к равен-
ству:
r a |
c |
x . |
(5.21) |
|
|||
1 |
a |
|
|
|
|
Замечание. В треугольнике F1MF2 модуль разности длин любых двух сторон всегда меньше длины третьей стороны:
r1 r2 F1M F2M 2a F1F2 2c,
поэтому, в отличие от эллипса, для гиперболы всегда справедливо
неравенство a c или c 1. a