Глава 05 Кривые и поверхности второго порядка

1 ( 2 ) и проходящая перпендикулярно большой полуоси эллипса

на расстоянии a/e от его центра.

O

Рис. 5.9

Директрисы эллипса изображены на рис. 5.10.

252 Глава 5. Кривые и поверхности

Приведем теорему, которая выражает важное свойство эллипса и его директрис8.

Теорема 5.1. Отношение расстояния ri (i 1,2) от точки M эл-

липса до фокуса Fi к расстоянию di от точки M до отвечающей

этому фокусу директрисы Di равно эксцентриситету eэллипса.

► Согласно формулам (5.11), (5.12), расстояния r1 и r2 от точки M

до фокусов F1 и F2 соответственно равны:

Тогда расстояние d1 от M до левой директрисы можно вычислить по формуле:

8 Предполагается, что эллипс отличен от окружности, по условию теоремы кривая имеет два различных фокуса.

Отметим, что справедливо и обратное утверждение, которое мы приведем без доказательства. Выберем некоторую прямую D и точ-

ку F , не принадлежащую этой прямой.

Теорема 5.2. Геометрическое место точек M плоскости, для каж-

называется его директориальным свойством, и фактически, из тео-

рем 5.1, 5.2 следует, что эллипс можно было бы определить его директориальным свойством.

Приведем без доказательства утверждения, аналогичные теоре-

мам 5.1, 5.2, а именно:

Рис. 5.11

Теорема 5.3. Отношение расстояния ri (i 1,2) от точки M ги-

перболы до фокуса Fi к расстоянию di от точки M до отвечаю-

щей этому фокусу директрисы Di равно эксцентриситету e ги-

перболы.

Теорема 5.4. Геометрическое место точек M плоскости, для каж-

дой из которых отношение e расстояния r до точки F к рас-

В заключение этого параграфа отметим, что, согласно определе-

нию 5.3, для параболы отношение e расстояния r от точки M

параболы до фокуса F к расстоянию d до директрисы D равно 1.

Сходство директориальных свойств эллипса, гиперболы и пара-

болы позволяет ввести следующее единое определение указанных кривых.

Определение 5.7. Геометрическое место точек M плоскости, для каждой из которых отношение e расстояния r до точки F этой

плоскости к расстоянию D до прямой, расположенной в той же плоскости, есть величина постоянная, представляет собой либо эл-

сой, число e – эксцентриситетом соответствующей кривой.

5.5.Оптические свойства эллипса, гиперболы,

параболы

Рассмотрим эллипс, заданный в декартовой системе координат каноническим уравнением

и составим уравнение касательной к эллипсу. Верхняя половина эл-

липса (расположенная в полуплоскости y 0) является графиком функции:

Нетрудно проверить, что в обоих случаях производную функций можно записать в одном и том же виде:

Таким образом, уравнение касательной к эллипсу в точке

M0 (x0 , y0 ) имеет вид (5.41).

Теперь найдем расстояние от первого фокуса F1 до касательной.

Пусть N есть вектор нормали к касательной:

тогда расстояние от фокуса F1( c,0) до касательной (5.41) можно найти по формуле

Нетрудно заметить (см. рис. 5.12), что касательная в любой точке эллипса образует в точке касания равные острые углы с фокальны-

ми радиусами. В самом деле, если 1 и 2 — указанные углы, то

F1 F2

Рис. 5.12

Отмеченное равенство углов называется оптическим свойством эл-

липса.

Оптическое свойство эллипса можно сформулировать следую-

щим образом: все лучи света, исходящие из источника, располо-

женного в одном из фокусов эллипса, после зеркального отражения от эллипса собираются в другом его фокусе.

Парабола и гипербола также обладают оптическими свойствами, кото-

рые мы сформулируем здесь без доказательства. Все лучи света, исходящие из источника, расположенного в фокусе параболы, после зеркального от-

ражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 5.13).

y

x

F

Рис. 5.13

Все лучи света, исходящие из источника, расположенного в одном из фокусов, например F2 , гиперболы, после зеркального отражения от правой ветви гиперболы кажутся исходящими из другого фокуса

F1 гиперболы (рис. 5.14).

y

x

Рис. 5.14

260Глава 5. Кривые и поверхности

5.6.Общее уравнение кривой второго порядка.

Приведение уравнения кривой второго порядка

кканоническому виду

Вобщем случае кривая второго порядка задается как множе-

ство точек M x, y , координаты которых удовлетворяют алгебраи-

ческому уравнению второго порядка:

Отметим без доказательства, что с помощью специального выбо-

ра декартовой системы координат можно привести уравнение кри-

вой второго порядка к одному из следующих канонических уравне-

ний:

9 Если a b, то получим уравнение окружности x2 y2 a2 .