Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 05 Кривые и поверхности второго порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

765.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Глава 5. Кривые и поверхности						271
			1
		3


C	2			2	.
			3
	1

	2		2

Координаты x1,x		,x		связаны соотношением X											CX	, т.е.
Координаты x1,x	2 и x1	,x	2	связаны соотношением X											CX	, т.е.
		x												x
		x				3 2					1 2			x
			1			3 2					1 2			1
														1
												3 2
		x2			1 2							3 2		x2
или

						3						1
				x1		3						1	x

						2			x1			2		2 ,
						2						2

						1						3
				x2
				x2		2		x1				2	x2.
						2						2
Возвращаясь к переменным					x x1,					y x2				и полагая	~		~		,
Возвращаясь к переменным					x x1,					y x2				и полагая	x x1		, y x	2	,
получим:
							~			1
						3	~			1		~
			x					x				y,
			x					x				y,
					2					2

					1	~				3 ~
			y			x						y.
			y			x				2		y.
					2					2

В системе координат O~x~y исходное уравнение кривой второго по-

рядка примет следующий вид:

3 ~

1 ~

3 ~

2x 2y

4 3

10 0

или

(5.51)

8x 10 0.

272	Глава 5. Кривые и поверхности

2) На втором шаге, за счет параллельного переноса системы ко-

ординат O~x~y в новое начало, «избавимся» в уравнении (5.51) от слагаемого 8~x . Для этого выделим полный квадрат в выражении

2~x2 8~x :

2~x 2 8~x 2~y2 10 0,

2 ~x2 4~x 4 4 2~y2 10 0,

2 ~x 2 2 2~y2 18.

После деления обеих частей последнего равенства на 18 придем к уравнению:

		~					2					2		~2
						x	2								y			1.						(5.52)
							9							9				1.						(5.52)
							9							9
Если ввести	обозначения	~												~
Если ввести	обозначения		x 2 x										и y y , то из (5.52) получим
каноническое	уравнение		гиперболы													x2						y2	1	с полуосями
каноническое	уравнение		гиперболы											9									1	с полуосями
														9						9
a 3,b 3. Направления осей Ox												и Oy						«новой» системы коорди-
нат задаются ортонормированными собственными векторами:
														1
		e		1				3		e1				1		e	2	,

							2							2
									1
			e		2				1		e1					3			e		2 ,

									2					2

а начало координат расположено в точке ~x 2, ~y 0 (рис. 5.18).

Глава 5. Кривые и поверхности

273

~y y

~x x

30 x

e2 e1

Рис. 5.18

5.7. Поверхности второго порядка

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве задана некоторая прямоугольная система координат.

Определение 5.8. Поверхностью второго порядка называется мно-

жество точек, координаты которых удовлетворяют алгебраическому

уравнению второй степени:

a x2	a	22	y2 a	33	z2 2a xy 2a xz 2a		23	yz
11		22		33	12	13	23	(5.53)
								(5.53)

2a14 x 2a24 y 2a34 z a44 0,

274	Глава 5. Кривые и поверхности

где хотя бы один из коэффициентов a11,a22 ,a33 ,a12 , a13,a23 отличен от нуля.

Так же, как и в случае кривой второго порядка, можно показать,

что с помощью выбора новой системы координат (т.е. за счет пово-

рота координатных осей и подходящего параллельного переноса системы координат в новое начало отсчета) общее уравнение по-

верхности второго порядка приводится к одному из следующих ка-

нонических уравнений11:

эллипсоид (рис. 5.19);

гиперболоид однополостный

(рис. 5.20);

гиперболоид двуполостный

(рис.5.21);

4.	x2	y2	z2
	a2	b2	c2

0, конус (рис. 5.22);

	x2	y2		параболоид эллиптический
5.			2z,		(рис. 5.23);
	a2
		b2
	x2	y2		параболоид гиперболический
6.			2z,		(рис. 5.24);
	a2
		b2
7.	x2	y2		цилиндр эллиптический	(рис. 5.25);
			1,
	a2
		b2

11 Здесь мы не рассматриваем различные случаи вырождения, когда уравнение задает точку, прямую, пару плоскостей или пустое множество точек.

						Глава 5. Кривые и поверхности	275
8.	x2		y	2	1,	цилиндр гиперболический	(рис. 5.26);
8.	a2		b	2	1,	цилиндр гиперболический	(рис. 5.26);
	a2		b	2
9.	y2	2px ,				цилиндр параболический	(рис. 5.27).

Эллипсоид	Гиперболоид
Рис. 5.19	однополостный
	Рис. 5.20

Гиперболоид
двуполостный	Конус
Рис. 5.21	Рис. 5.22

276	Глава 5. Кривые и поверхности

Параболоид	Параболоид
эллиптический	гиперболический
Рис. 5.23	Рис. 5.24

Цилиндр	Цилиндр
эллиптический	гиперболический
Рис 5.25	Рис. 5.26

Построение поверхностей второго порядка проводят с помощью

метода сечений. Суть этого метода заключается в следующей про-

цедуре: поверхность второго порядка пересекают различными плос-

костями, пытаясь каждый раз понять, какая кривая получается в пе-

ресечении выбранной плоскости и заданной поверхности.

Глава 5. Кривые и поверхности

277

Цилиндр

параболический Рис. 5.27

Покажем, как работает метод сечений на примерах построения

двух поверхностей.

Пример 5.5. Построить поверхность второго порядка, заданную уравнением:

	x2		y2		z		2	1 0.		(5.54)

9			4

Запишем уравнение (5.54) следующим образом
		x2		y2				2
						z			1,	(5.55)

итогда становится ясно, что это уравнение по типу совпадает с уравнением двуполостного гиперболоида (в (5.55) содержатся квад-

раты всех переменных, в правой части 1, в левой – два знака «-» и

один знак «+»).

Теперь для проведения метода сечений перепишем уравнение

(5.55) в виде

x2		y2	z2	1.	(5.56)
9
	4

278	Глава 5. Кривые и поверхности

Сначала мы будем последовательно проводить сечения гипербо-

лоида плоскостями вида z c, где c R, т.е. плоскостями, парал-

лельными координатной плоскости Oxy. Итак, пусть в (5.56) z c . 1) Если c 1, то уравнение

x2	y2		2
		c		1	(5.57)
9	4

не имеет ни одного решения, поскольку левая часть этого уравнения неотрицательна, а правая – отрицательна. Таким образом, любая плоскость z c , где c 1 не имеет общих точек с двуполостным гиперболоидом.

2) Если c 1, то уравнение

	x2	y2
			0
9		4

имеет решение x y 0, и поэтому каждая из плоскостей				z 1 и

z 1 имеет с гиперболоидом только одну общую точку – (0,0,1) и (0,0,-1) соответственно.

3)	Если	c	1, то в любом сечении гиперболоида плоскостью
z c	мы получаем эллипс (рис.5.28)
			x2	y2
			9 c2 1	4 c2 1	1

с полуосями a 3c2 1 и b 2c2 1. При этом величины полу-

осей возрастают, когда c возрастает от 0 до .

		Глава 5. Кривые и поверхности						279
Посмотрим, какие кривые получа-
ются в сечениях гиперболоида «верти-
кальными» плоскостями. Полагая в
(5.55)	x 0 ,	получим			каноническое
уравнение гиперболы
		z2		y2	1
		z2			1
			4
с полуосями a 1			и b 2. Эта гипербо-
ла расположена в			плоскости Oyz ,				ее
ветви пересекают ось Oz, а вершины
находятся в точках (0,0,1) и (0,0,-1).							Рис. 5.28
	В сечении двуполостного гиперболоида плоскостью							y 0
мы также получаем гиперболу
					z2	x2	1
					z2		1
					9
с полуосями		a 1 и b 3. Гипербола расположена в плоскости
Oxz,	ветви пересекают ось Oz, а ее вершины совпадают с точками
(0,0,1) и (0,0,-1).
	Общий вид двуполостного гиперболоида с соответствующи-
ми сечениями показан на рис. 5.28.

Пример 5.6. Построить поверхность второго порядка, заданную уравнением

x2	y2
		2z .	(5.58)
16	9

280	Глава 5. Кривые и поверхности

Данная поверхность представляет собой эллиптический парабо-

лоид. Любая плоскость z c , где c 0, c R, не имеет с парабо-

лоидом общих точек.

Если z c 0, то уравнение

x2	y2
		0
16	9

имеет единственное решение x y 0, и поэтому плоскость z 0 и

параболоид (5.58) имеют только одну общую точку с координатами

(0,0,0) (рис. 5.29).

Любое сечение параболоида плос-

костью

z c ,

где c 0,

c R , пред-

ставляет собой эллипс

16 2c

9 2c

с полуосями

a 4

и b 3

При этом полуоси эллипса увеличи-

ваются с увеличением числа c .

Сечения параболоида (5.58) плос-

Рис. 5.29

костями

x 0

и y 0

представляют собой

параболы

y2 18z и

x2 32z

с фокальными параметрами

p 9

и p

соответст-

венно. Вершины обеих парабол расположены в точке O 0,0,0 .

Плоскости

x c

и y c пересекают параболоид также по пара-

болам:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20181.81 Mб60Гистология.docx
#
27.03.2016615.32 Кб7Глава 01 Системы линейн уравн.pdf
#
27.03.2016592.45 Кб13Глава 02 Векторная алгебра.pdf
#
27.03.2016511.66 Кб6Глава 03 Прямая и плоскость.pdf
#
27.03.20161.28 Mб26Глава 04 Линейные пространства.pdf
#
05.06.2015765.12 Кб9Глава 05 Кривые и поверхности второго порядка.pdf
#
15.11.201994.21 Кб3Глава 16 Прик пр-во.doc
#
15.11.201951.2 Кб2Глава 17 Судебный приказ.doc
#
14.11.20191.16 Mб20Глава 2 Методы преобразования электрической эне...doc
#
05.09.2019540.16 Кб75Глава10. перЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПИТАНИЯ.doc
#
17.12.20181.07 Mб2голубой учметодкомплекс.doc