Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 05 Кривые и поверхности второго порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

765.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

							Глава 5. Кривые и поверхности			261
4.	x2		y	2	0,		пара пересекающихся прямых y		b	x
4.	a2				0,		пара пересекающихся прямых y		a	x
	a2		b2						a
							(a 0,		b 0);
5.	y2	2px ,					парабола ( p 0);
6.	y2	b2		,		пара параллельных прямых y b		(b 0);

7.y2 0, пара совпадающих прямых.

Замечание. Иногда возникает ситуация, когда уравнению (5.42) не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости. Например, не существует точек M x, y , координаты которых удовлетворяли бы

уравнению x2 y2 1 0. В этом случае говорят, что уравнение

(5.42) задает мнимую кривую второго порядка. Такие кривые мы не будем рассматривать.

Покажем на примерах, как осуществляется переход от уравнений вида (5.42) к одному из перечисленных выше канонических уравне-

ний.

Пример 5.1. (Параллельный перенос системы координат).

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка: 9x2 4y2 18x 16y 43 0

и построить эту кривую.

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные x и y ,

9 x2 2x 4 y2 4y 43 0

и дополним выражения в скобках до полных квадратов:

9 x2 2x 1 1 4 y2 4y 4 4 43 0

262	Глава 5. Кривые и поверхности

или 9 x 1 2 4 y 2 2 36. Теперь разделим обе части уравне-

ния на 36:

	x 1 2			y 2 2		1
4					9
						~
и после замены переменных		~	x 1,
		x				y y 2 получим урав-
нение
		~2	~2
		x		y	1,	(5.43)
		4
			9

которое совпадает с каноническим уравнением гиперболы в некото-

рой декартовой системе координат ~~~.

Ox y

При построении этой гиперболы (рис. 5.15) сначала осуществим параллельный перенос декартовой системы координат Oxy в новое

~	~		~			x0 1,		y0 2.
начало – точку O :	x 0,		y 0, т.е. в точку			x0 1,		y0 2.
	y		~
				y

				b
		O		b			x
							x
				~			~
					O		x

a 2

b 3

Рис. 5.15

Глава 5. Кривые и поверхности

263

																		~	~					~~										a
		Затем			отложим									на		осях		~	~			и		~~						величины						4 2 и
		Затем			отложим									на		осях		Ox				и			O y					величины						4 2 и
b																														~					~
																														~					~
				9 3 соответственно. Полагая в (5.43) y																											0,	получим x 2
или			~					следовательно, гипербола пересекает ось																										~~
или			x 2,					следовательно, гипербола пересекает ось																										Ox	. Теперь
проведем асимптоты и построим гиперболу.
Пример 5.2. Привести к каноническому виду уравнение
														4x2 2y2 8x 6y 16 0
и построить кривую второго порядка.
		Проведем преобразования в уравнении:
													4 x2 2x 2 y2 3y 16 0,
					4 x2 2x 1 1 2 y2 2																				3		y			9	9 16 0,
					4 x2 2x 1 1 2 y2 2																			2			y			9	9 16 0,
												4 x 1 2 2 y										2		2						4	4
																				3			4					9		16 0,
																			2				4					9		16 0,
																			2									2
														4 x 1 2 2 y										3		2				49 ,
														4 x 1 2 2 y										2		2				49 ,
																								2						2
															4 x 1 2						2 y 3 2
																								2					1,
																49													1,
																49							49
								~2					~2			2								2
								~2					~2									~								~		3
										x				y								~								~		3
																1,		где				x x 1,								y y			.
									49					49		1,		где				x x 1,								y y		2	.
								8					4
		Заданная										кривая				является											эллипсом					с		полуосями
				7		7					2,47;					b	7	. Центр эллипса расположен в точке
a				7		7				2							7
a								2
			2	2				2								2
x	0	1,			y		0	3				. Построение эллипса проведено на рис. 5.16.
	0						0	2

На примерах 5.1, 5.2 нетрудно понять, что, когда уравнение кри-

вой второго порядка не содержит произведения 2a12 xy, действия по

264 Глава 5. Кривые и поверхности

преобразованию системы координат сводятся к параллельному пе-

реносу системы.

~y y

ba 7 22 b 72

3		~
	a	x
2

1 O

Рис. 5.16

В тех же случаях, когда уравнение содержит произведение

2a12 xy, для приведения уравнения к каноническому виду восполь-

зуемся результатами разделов 4.6 и 4.7.

До анализа соответствующих примеров отметим, что алгеб-

раическому уравнению

a11x2 2a12 xy a22 y2 2a13 x 2a23 y a33 0

можно поставить в соответствие квадратичную форму (формула

(4.74))

A x;x a11x12 2a12 x1x2 2a22 x22

с матрицей

Глава 5. Кривые и поверхности

265

a	a
A 11	a	12	.
a	a	22
12		22

Пример 5.3. Привести к каноническому виду уравнение кривой вто-

рого порядка

2xy 1 0

и построить кривую.

Заданному уравнению соответствует квадратичная форма

A x;x 0 x12 2x1x2 0 x22

с матрицей

0		1
A			.
	1	0
	1	0

Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A.

Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

	A E		1	2 1 0,				1,	2	1.
			1

		1						1
		1
Координаты собственного вектора,							принадлежащего значению ,
удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:
			x		x		0,			(5.44)
				1		2	0.			(5.44)
				x1	x2		0.

Если в (5.44) 1 1, то система принимает вид:

x1 x2 0,x1 x2 0,

и такая система имеет бесконечное множество решений:


266			Глава 5. Кривые и поверхности
				c
		X				,		где	c R,				c 0.
		X				,		где	c R,				c 0.
				c
Выбирая значение		c 1,			получим собственный вектор												y	1 1,1
или, после нормирования, единичный собственный вектор10:
			y			1	1			1			1
	e	1						,				e		e		.
	e							,				e		e		.
1			y			2	2			2	1				2
			1			2	2			2	2

Точно так же, подставляя в систему (5.44) значение 2 1, найдем

второй собственный вектор y2 :

где c R ,

x1 x2

При c 1,

1,1 .

После нормирования вектора

2 получим

единичный собственный вектор, принадлежащий собственному зна-

чению 2 :

	1		1	1			1
e		,				e		e	2	.
e		,				e		e		.
2	2		2	2	1		2
	2		2	2			2

Собственные векторы e1 и e2 ортогональны, нормированы и ли-

нейно независимы, поэтому их можно выбрать в качестве базиса

«новой» ортонормированной системы координат.

Запишем матрицу C перехода от базиса e1,e2 к базису e1 ,e2 . (Матрица C одновременно является матрицей некоторого линейно-

10 Вместо значения с 1 можно было бы выбрать любое другое, отличное от нуля, значение с.

Глава 5. Кривые и поверхности

267

го преобразования.) Напомним, что столбцы этой матрицы образо-

ваны координатами векторов		e	1 ,	e	2 :
	1			1


С	2			2		.	(5.45)
	1			1


	2			2
	2			2

С помощью матрицы перехода найдем связь между переменными

	,		и	x1,	x2 :
x1	,	x2	и	x1,	x2 :
								1	1
							x			x

				X	CX	или		2
				X	CX	или	1	2	2			1	.
								1	1
							x2				x	2
							x2				x	2
								2	2
								2	2

Таким образом, мы пришли к замене переменных (линейному пре-

образованию системы координат):

	1		1

x1	2	x1	2	x2	,
	2		2
	1		1
	1	x1	1	x2 ,
x2

	2		2
	2		2

которая приводит квадратичную форму к виду:

							1	x	1	x	1		x	1	x		x	2	x	2
	2x x		2	2																	.
	2x x			2																	.
		1					1		2		2	1		2	2		1		2
							2		2		2			2
Возвращаясь							к обозначениям							x x1,		y x2			и	полагая
~		~	x			,	получим, что исходное уравнение кривой второго
x	x1,	y	x		2	,	получим, что исходное уравнение кривой второго
порядка		2xy 1 после замены переменных

268	Глава 5. Кривые и поверхности
		1	~		1	~
	x			x			y,

		2			2
		2			2
		1	~		1	~
		1	~		1	~
	y			x			y,

		2			2
		2			2

			~~
в системе координат Ox y примет канонический вид
			~2				~	2	1,	(5.46)
						x	y		1,	(5.46)
т.е. это гипербола с полуосями								a 1 и		~
т.е. это гипербола с полуосями								a 1 и		b 1. Направления осей Ox
~	«новой» системы координат задаются собственными векто-
и Oy	«новой» системы координат задаются собственными векто-
рами	e	1	и	e	2 матрицы A квадратичной формы (рис. 5.17).
			~			y				~
			~							x
			y
					e	2	e	2	e1

e1 x

Рис. 5.17

Если сравнить матрицу C (5.45) с матрицей A линейного преобразова-

ния – поворота системы координат на угол (см. пример 4.14)

Глава 5. Кривые и поверхности

269

A	cos	sin
A			,		(5.47)

	sin	cos
то нетрудно заметить,	что в нашем случае угол			4	и система
				4

O~x~y получены из Oxy поворотом осей координат на 45 против

часовой стрелки. Поэтому «старые» оси координат являются асим-

птотами гиперболы.

Теперь рассмотрим пример, в котором уравнение кривой второго порядка содержит, помимо произведения, линейные слагаемые.

Пример 5.4. Привести к каноническому виду уравнение кривой вто-

рого порядка:

x2 23xy y2 43x 4y 10 0

ипостроить кривую.

1)На первом шаге «избавимся» от слагаемого, содержащего произведение xy, за счет поворота декартовой системы координат

на некоторый угол. Составим квадратичную форму

A x;x x12 23 x1x2 x22

и запишем ее матрицу

	1	3
A			.
	3	1
	3	1

Найдем собственные значения и единичные собственные векто-

ры матрицы A:


A E	1		3	0,

	3	1

270	Глава 5. Кривые и поверхности
	1 1 3 0,	2 4 0,	2,	2	2.
			1	2

Координаты собственного вектора, принадлежащего собственному значению 1 2, удовлетворяют системе уравнений:


				3x2		0,
x1				3x2		0,

	3x	1	3x		2	0,
		1			2

общее решение которой имеет вид

	3c	,	где c R.
X		,	где c R.
	c
	c

При c 1, получим y1 3,1 или после нормирования

	3	1	3		1
e1
e1	2	;		e1	e2 .
	2	2	2		2

(5.48)

(5.49)

Координаты собственного вектора y2 , принадлежащего значению

2 2, найдем, как решения системы:


		3x2				0,						c/			3
	3x1	3x2				0,						c/			3
										X						,			c R.
										X						,			c R.
	3x		x		0,									c
	3x		x	2	0,									c
		1		2
							1
Полагая c 1, получим					y2		1				,

										;1
							3
			1				1						1
			1				1		3				1				3
e2				y										e1				e2 .	(5.50)
					2		;
		2	3		2		;	2					2			2
		2	3				2	2					2			2

Из равенств (5.49), (5.50) следует, что матрица перехода C от базиса

e1,e2 к базису e1,e2 имеет вид

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20181.81 Mб60Гистология.docx
#
27.03.2016615.32 Кб7Глава 01 Системы линейн уравн.pdf
#
27.03.2016592.45 Кб13Глава 02 Векторная алгебра.pdf
#
27.03.2016511.66 Кб6Глава 03 Прямая и плоскость.pdf
#
27.03.20161.28 Mб26Глава 04 Линейные пространства.pdf
#
05.06.2015765.12 Кб9Глава 05 Кривые и поверхности второго порядка.pdf
#
15.11.201994.21 Кб3Глава 16 Прик пр-во.doc
#
15.11.201951.2 Кб2Глава 17 Судебный приказ.doc
#
14.11.20191.16 Mб20Глава 2 Методы преобразования электрической эне...doc
#
05.09.2019540.16 Кб75Глава10. перЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПИТАНИЯ.doc
#
17.12.20181.07 Mб2голубой учметодкомплекс.doc