Глава 05 Кривые и поверхности второго порядка

Подставляя (5.16), (5.21) в (5.20), получим равенство:

(x c)2 y2 (c x a)2 a

или

2

x2 2xc c2 y2 c x2 2xc a2 , (5.22) a2

(a2 c2)x2 y2 a2 c2 , a2

откуда после деления на разность a2 c2 получим:

Мы доказали, что координаты одной ветви гиперболы удовлетворя-

ют каноническому уравнению. Точно так же можно доказать, что координаты любой точки другой ветви удовлетворяют уравнению

(5.24).

Покажем теперь обратное, что любая точка M(x, y), координа-

ты которой связаны каноническим уравнением, действительно рас-

положена на гиперболе, заданной ее фокальным свойством.

Подставляя в равенство

r1 (x c)2 y2

Точно так же можно получить второе равенство:

Теперь отметим, что из канонического уравнения (5.24) следует не-

2 Напомним, что c a и c/a 1.

ны пунктирные прямые, отмечают вершины гиперболы и изобража-

ют две ветви так, как это показано на рис. 5.4.

y

0,b

пербола неограниченно приближается к асимптотам, когда x

или x .

Наряду с гиперболой (5.27) рассматривают гиперболу, сопря-

женную гиперболе (5.27):

лы обязаны удовлетворять неравенству y b, и гипербола имеет

те же асимптоты y b x. Гипербола (5.29) показана на рис. 5.5. a

y

O

0, b

F1 0, c

Рис. 5.5

В параметрическом способе задания гиперболы участвуют две функции — гиперболические косинус и синус:

При этом верхняя половина правой ветви гиперболы соответствует изменению параметра t от 0 до , а нижняя — изменению t

от до 0.

5.3 Парабола

Определение 5.3. Параболой называется геометрическое место то-

чек плоскости, для каждой из которых расстояние до заданной точки плоскости (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (дирек-

трисы), также расположенной в рассматриваемой плоскости5.

Введем декартову систему координат следующим образом. Ось абсцисс проведем перпендикулярно директрисе через фокус F , а

начало системы координат поместим в середине отрезка между ди-

248 Глава 5. Кривые и поверхности

Очевидно, обратная подстановка (5.32) в (5.31) подтверждает, что для любой точки, координаты которой связаны равенством (5.32),

будет справедливо соотношение (5.30).

Величину p называют фокальным параметром параболы, а

число p — фокусным расстоянием. Из уравнения (5.32) следует,

2

что парабола проходит через начало координат и, если p 0, цели-

ком располагается в правой полуплоскости (x 0).

Кроме этого, поскольку любому значению x0 0 соответству-

ют два различных значения y : y1,2 2px0 , ось абсцисс являет-

ся осью симметрии параболы (рис. 5.7).

y

M2

M1

x0 x

O F

Рис. 5.7

ся параболой, которая целиком располагается в левой полуплоско-

сти.

5.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы.

Директрисы эллипса и гиперболы

Определение 5.4. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называ-

ется число

b2

e 1 (для эллипса), (5.34) a2

b2

e 1 (для гиперболы). (5.35) a2

Очевидно, эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентри-

ситет гиперболы больше единицы.

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как характери-

стику «вытянутости» эллипса — чем больше число6 e, тем меньше величина b/a — отношение длин малой и большой полуосей эл-

липса (рис. 5.8). Отметим также, что эксцентриситет окружности

равен нулю.

y

e2 e1 1

b2 e2

b1

x

e1

O

Рис. 5.8

Эксцентриситет гиперболы может служить характеристикой угла между асимптотами гиперболы: чем больше число e, тем больше угол между асимптотами7 (рис. 5.9).

Малая полуось эллипса разбивает плоскость Oxy на две полу-

плоскости 1 и 2 , в которых расположены фокусы эллипса F1 и

F2 соответственно.

Определение 5.5. Директрисой D1 (D2 ) эллипса, отвечающей фо-

кусу F1 (F2 ), называется прямая, расположенная в полуплоскости

6 То есть, чем ближе число e к единице.

7 Имеется в виду угол между асимптотами, содержащий вещественную ось гиперболы.