Глава 04 Линейные пространства

Скалярное произведение этих векторов можно вычислить непо-

средственно, если воспользоваться аксиомами скалярного умноже-

ния:

(x, y) (x1e1 x2e2 x3e3 , y1e1 y2e2 y3e3 )x1 y1(e1,e1) x1 y2 (e1,e2 ) x1 y3 (e1,e3)

x2 y1(e2 ,e1) x2 y2 (e2 ,e2 ) x2 y3 (e2 ,e3 )

x3 y1(e3,e1) x3 y2 (e3,e2 ) x3 y3 (e3,e3 )

x1 y1g11 x1 y2 g12 x1 y3g13x2 y1g21 x2 y2 g22 x2 y3g23x3 y1g31 x3 y2 g32 x3 y3g33

x1 y1g11 x2 y2 g22 x3 y3g33

(4.20)

g12 (x1 y2 x2 y1) g13 (x1 y3 x3 y1) g23 (x2 y3 x3 y2 ).

Теперь результат наших действий запишем кратко в матричном ви-

де:

Предположим, что уже имеется симметрическая матрица G , у

которой на главной диагонали расположены только положительные элементы. На следующем этапе займемся исследованием вопроса:

каким дополнительным требованиям должны удовлетворять числа gij , чтобы выполнялась четвёртая аксиома скалярного умножения

— положительность скалярного произведения: (x,x) 0 для любо-

го ненулевого вектора x V ?

Положительность скалярного произведения означает, что для

любых значений x1,x2,x3 , не равных одновременно нулю, должно выполняться неравенство

Рассмотрим последовательно различные случаи.

1)Если пространство V одномерно и вектор x x1e, то, очевид-

но, неравенство g11 0 является необходимым и достаточным условием положительной определённости скалярного произведения (x,x) g11x12 .

2)Предположим, что пространство V двумерно, вектор

Выделим в скалярном произведении полный квадрат:

Покажем здесь, что условия (4.24) являются достаточными8 для вы-

полнения неравенства (4.23).

► Сначала предположим, что вторая координата вектора x x1,x2 отлична от нуля ( x2 0). Тогда с учетом (4.24)

7Из (4.24) следует, что g22 0.

8Попробуйте самостоятельно доказать необходимость условий (4.24).

тогда и только тогда является матрицей метрических коэффици-

ентов некоторого базиса двумерного евклидова пространства, ко-

гда выполнены условия

Наконец, отметим, что в том случае, когда размерность евкли-

дова пространства равна трем (dimV 3), условия, аналогичные требованиям (4.25), имеют следующий вид:

i, j 1

в которой gij есть метрические коэффициенты элементов базиса,

причём матрица G метрических коэффициентов симметрическая и выполнены следующие условия:

Миноры (4.28) называются главными минорами матрицы G .

4.4Ортонормированный базис евклидова пространства.

Рассмотрим евклидово пространство размерности n.

Определение 4.15. Семейство ненулевых векторов e1, e2 , ,en

называется ортогональным, если все векторы семейства попарно

ортогональны, т.е.

184 Глава 4. Линейные пространства

( ei ,ej ) 0, i j, i, j {1,2, ,n}. (4.29)

Теорема 4.5. Если семейство векторов ортогонально, то оно ли-

умножим скалярно левую и правую части равенства (4.30) на вектор e1:

1(e1,e1) 2 (e1,e2 ) n (e1,en ) (e1,o) 0.

В силу ортогональности векторов семейства выполняются соотно-

шения

(e1,e2 ) 0, (e1,e3 ) 0, … , (e1,en ) 0.

В то же время скалярное произведение (e1,e1) 0, поскольку век-

Если теперь мы умножим скалярно равенство (4.30) на вектор e2 , то получим, что 2 0 и т.д. Таким образом, все коэффициен-

ты i в (4.30) равны нулю, и, значит, векторы e1, e2 , ,en ли-

нейно независимы.◄

Из теоремы следует, что любое ортогональное семейство, содер-

жащее n векторов, образует базис n-мерного евклидова простран-

ства.

Определение 4.16. Базис пространства называется нормированным,

если норма (длина) любого вектора базиса равна единице, т.е. если

Если базис не является нормированным, то векторы базиса можно

Определение 4.17. Ортогональный и нормированный базис про-

странства называется ортонормированным базисом.

Объединяя равенства (4.29) и (4.31), получим, что скалярные произведения (метрические коэффициенты) векторов ортонормиро-

ванного базиса должны удовлетворять следующим требованиям:

Последнее означает, что матрица метрических коэффициентов орто-

нормированного базиса является единичной:

0 0 1

Наконец, сформулируем (без доказательства) основную теорему.

Теорема 4.6. В любом евклидовом пространстве существует орто-

нормированный базис.

Преимущество работы с ортонормированным базисом евкли-

дова пространства состоит в том, что в этом базисе формулы, кото-

рые задают скалярное произведение, норму вектора, угол между векторами и т.д., принимают наиболее простой и удобный вид.

Если мы воспользуемся соотношениями (4.32) и непосредст-

венно перемножим скалярно два вектора:

Проверьте самостоятельно, что равенство (4.33) можно получить другим способом, если воспользоваться соотношениями (4.21):

(x, y) X T GY x1 y1 x2 y2 xn yn.

Норма элемента x, заданного в ортонормированном базисе, и ко-

синус угла между двумя ненулевыми векторами имеют следующий вид:

x1 ( x,e1), x2 (x,e2 ), … , xn (x,en ),

а значит, в ортонормированном базисе координаты вектора равны скалярным произведениям вектора x на соответствующие векторы базиса.

С учётом равенства (x,ei ) x ei cos x cos ,

естественно назвать скалярное произведение (x,ei ) проекцией век-

тора x на направление единичного вектора ei , и тогда можно ска-

зать, что в ортонормированном базисе координаты вектора x сов-

падают с его проекциями на направления соответствующих векто-

ров базиса.

Пример 4.11. Рассмотрим пространство Rn арифметических векто-

ров. Определим в этом пространстве скалярное произведение двух векторов x (x1,x2 , ,xn ) и y ( y1, y2 , , yn ) формулой

(x, y) x1 y1 x2 y2 xn yn.

Нетрудно проверить, что при таком способе задания скалярного произведения стандартный базис пространства Rn

является ортонормированным. Действительно, скалярное про-

изведение двух различных векторов базиса равно нулю:

(ei ,ej ) 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0,

а норма любого элемента базиса равна 1

●Ортогонализация базиса евклидова пространства

Впроизвольном евклидовом пространстве имеются различные ортонормированные базисы. Существует специальный алгоритм,

называемый процессом ортогонализации Грама-Шмидта, который позволяет по любому заданному неортонормированному базису по-

строить ортонормированный базис.

Для описания этого алгоритма докажем предварительно одно

m векторам базиса, т.е. векторам e1,e2 , em .

► Умножая скалярно вектор u на вектор ei , получим:

(u,ei) (x,ei ) x1(e1,ei) x2(e2,ei) xi (ei,ei)

xm (em ,ei ) (x,ei ) xi (ei ,ei ) xi xi 0,