Глава 04 Линейные пространства

Определение 4.25. Числовая функция14 A(x;y), аргументами кото-

рой являются произвольные векторы x и y линейного пространст-

ва V , называется билинейной формой, если для любых векторов x, y, z V и любого действительного числа выполняются соот-

ношения:

1)A(x y;z) A(x;z) A(y;z),

A( x; y) A(x;y);

2)A(x; y z) A(x;y) A(x;z),

A(x; y) A(x;y).

Иными словами, билинейная форма A(x;y) есть линейная функция каждого из двух своих аргументов.

Пример 4.19. В пространстве R3 арифметических векторов любые векторы x и y задаются последовательностями действительных

A(x;y) в R3 можно определить равенством:

A(x;y) a11 x1 y1 a12 x1 y2 a13 x1 y3

14 То есть функциональное отображение A:V V R, которое любой

упорядоченной паре векторов (x; y) пространства ставит в соответствие

некоторое действительное число A(x; y).

Нетрудно проверить, что формула (4.69) действительно задает билинейную форму. Так, при фиксированном векторе y , для любых

векторов x, z и любого числа R выполняются равенства:

A(x;y).

Аналогичным образом можно подтвердить линейность формы

A(x;y) по второму аргументу.

Предположим теперь, что в трехмерном линейном пространстве

V выбран некоторый базис e1,e2,e3 . Найдем значение билинейной

формы A(x;y) на векторах x x1e1 x2 e2 x3 e3 и y y1e1

y2 e2 y3e3 :

A(x;y) A(x1e1 x2 e2 x3 e3;y1e1 y2 e2 y3 e3 )

x1 y1 A(e1;e1) x1 y2 A(e1;e2 ) x1 y3 A(e1;e3 )x2 y1 A(e2;e1) x2 y2 A(e2;e2 ) x2 y3 A(e2;e3 )x3 y1 A(e3;e1) x3 y2 A(e3;e2 ) x3 y3 A(e3;e3 )

3

A(ei ;ej ) xi yj

i, j 1

или

что для того, чтобы задать билинейную форму в трехмерном линей-

ном пространстве, необходимо задать числа ai j значения формы на упорядоченных парах векторов базиса.

В общем случае, когда выбран некоторый базис e1,e2 , ,en

n-мерного линейного пространства V , билинейную форму можно записать следующим образом:

222 Глава 4. Линейные пространства

ai j A(ei;ej ).

называется матрицей билинейной формы A(x;y) в базисе e1,

e2 , ,en .

С помощью матрицы A любую билинейную форму можно запи-

сать в виде

где X и Y есть соответственно матрицы-столбцы координат векто-

ров x и y в базисе e1,e2 , ,en .

Среди различных билинейных форм особую роль играют сим-

метрические билинейные формы.

Определение 4.27. Билинейная форма называется симметрической,

если для любых двух векторов x и y пространства V справедливо равенство

A(x;y) A(y;x).

Отметим без доказательства, что билинейная форма (4.71) будет симметрической тогда и только тогда, когда выполняются равен-

Важным примером симметрической билинейной формы служит

скалярное произведение (4.27) векторов произвольного евклидова пространства.

лярные произведения векторов базиса.

Очевидно, симметрической билинейной форме соответствует симметрическая матрица билинейной формы.

С билинейной симметрической формой тесно связан еще один объект линейной алгебры квадратичная форма, которая участвует в описании характеристик кривых и поверхностей второго порядка15.

Определение 4.28. Пусть A(x;y) есть симметрическая билинейная

форма. Функция A(x;x), которая получается из A(x;y) при

y x , называется квадратичной формой.

15 Кривые и поверхности второго порядка рассматриваются в пятой главе курса лекций.

224 Глава 4. Линейные пространства

Возвращаясь к равенству (4.71), мы получаем, что в заданном ба-

Пример 4.20. В трехмерном линейном пространстве с базисом e1, e2 ,e3 любая квадратичная форма, с учетом симметрии коэффици-

ентов ai j , имеет следующий вид:

A(x;x) a11x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3

a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3

a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x3 x3a11 x12 a22 x22 a33 x32

2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a23 x2 x3.

Этой квадратичной форме соответствует матрица квадратичной формы:

с помощью которой можно записать квадратичную форму следую-

щим образом:

x1

A(x;x)= XT AX , где X x2 .

x3

Пример 4.21. Составить матрицу квадратичной формы

A( x;x) 3x12 2x22 x32 4x1x2 6x1x3 2x2 x3

и записать форму в матричном виде.

При построении матрицы квадратичной формы необходимо учи-

тывать, что эта матрица является симметрической, коэффициенты при квадратах переменных располагаются на главной диагонали, а

Пусть в линейном пространстве выбраны два базиса e1,e2 , ,en

иe1 ,e2 , ,en . Тогда матрицы-столбцы координат вектора

xx1e1 xn en x1 e1 xn en

связаны соотношением (4.14) X CX , где C есть матрица перехо-

да от базиса e1,e2 , ,en к базису e1 ,e2 , ,en . Используя мат-

ричную запись квадратичной формы, получим:

A(x;x) XT AX (CX )T ACX (X )T CT ACX

X T CT AC X ,

● Условие знакоопределенности квадратичной формы

Определение 4.29. Квадратичная форма A(x;x) называется поло-

жительно определенной (или отрицательно определенной), если

Если форма положительно (отрицательно) определена, то её назы-

вают знакоопределенной.

Условия знакоопределенности квадратичной формы сформули-

рованы в следующей теореме (сравните эти условия с требованиями

(4.28)).

Теорема 4.14. (Критерий Сильвестра). Квадратичная форма

положительно определена тогда и только тогда, когда

положительны все главные миноры матрицы A этой формы:

Чередование знаков главных миноров, начиная со знака " " для минора 1 a11, есть необходимое и достаточное условие отрица-

тельной определенности квадратичной формы.

Пример 4.22. Выяснить, является ли квадратичная форма

A(x;x) x12 6x22 2x32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3

знакоопределенной.

Составим матрицу квадратичной формы:

Знаки главных миноров матрицы чередуются, начиная со знака " ":

поэтому квадратичная форма является отрицательно определенной.

● Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.

(Приведение к каноническому виду)

Пусть в n-мерном вещественном евклидовом пространстве вы-

Каждой такой билинейной форме можно поставить в соответст-

вие самосопряжённый оператор A такой, что

A(x;y) ( A x, y).

Замечание. Обращаем Ваше внимание на то, что в левой части формулы векторы разделяет точка с запятой, а в правой части — запятая. Левая часть — это билинейная форма, а правая часть — скалярное произведение векторов A x и y .