Глава 04 Линейные пространства

столбцы которой образованы координатами разложений векторов

мы.

Теперь получим формулу, которая связывает координаты вектора

a в двух различных базисах. Обозначим символами ai и ai коор-

динаты произвольного вектора a в базисах {ei} и {ei } соответст-

венно:

a a1e1 a2 e2 an en a1 e1 a2 e2 an en .

Подставляя в последнее равенство разложения векторов ei из (4.9),

получим:

a1e1 a2 e2 an en a1 (c11 e1 c21e2 cn1en )

a2 (c12 e1 c22 e2 cn2 en )

(4.11)

an (c1n e1 c2n e2 cnn en ).

4.3Евклидово пространство

●Определение евклидова пространства

Из предыдущих разделов известно, что аксиомы линейного про-

странства задают различные свойства линейных операций с векто-

рами — сложения векторов и умножения вектора на число. Эти свойства позволяют исследовать линейную зависимость и независи-

мость векторов, изучать структуру базиса линейного пространства.

Однако для описания таких понятий, как длина вектора, угол между векторами, необходимо ввести новую операцию — скалярное умно-

жение векторов линейного пространства.

Определение 4.9. Скалярным умножением (скалярным произведе-

нием) на линейном пространстве V называют отображение (функ-

цию, закон, правило)5, которое каждой паре векторов x, y V

5 Строго говоря, скалярное умножение является функциональным отображением F :V V R, подчинённым системе аксиом 1) - 4).

172 Глава 4. Линейные пространства

ставит в соответствие некоторое действительное число ( x, y ) R,

если это отображение удовлетворяет следующей системе аксиом:

Замечание. В пространствах геометрических векторов для скалярного умножения (скалярного произведения) векторов часто используют обозначение x y, однако это неудобно в тех случаях, когда

элементами линейного пространства являются, например, функции, или многочлены, или матрицы.

Определение 4.10. Евклидовым пространством называют линейное пространство, в котором задано некоторое скалярное умножение.

В евклидовом пространстве можно ввести понятие длины векто-

ра (или нормы элемента евклидова пространства).

Определение 4.11. Длиной (нормой) элемента x евклидова про-

странства называется число, обозначаемое символом x , равное квадратному корню из скалярного квадрата этого элемента:

По аналогии с геометрическими векторами определяют и угол между векторами произвольного евклидова пространства.

Определение 4.12. Углом между двумя ненулевыми векторами x и y называют угол , такой, что

При таком определении угла (косинуса угла) между векторами,

необходимо прежде всего убедиться в том, что правая часть форму-

лы (4.17) принадлежит области определения арккосинуса, т.е. необ-

Неравенство (4.19) называется неравенством Коши-Буняковского.

Для того, чтобы доказать это неравенство, рассмотрим неотрица-

тельную числовую функцию f (t) (x ty,x ty). Согласно ак-

сиомам скалярного произведения функцию f (t) можно записать следующим образом:

f (t) (x,x) 2t(x, y) t2 (y, y) t2 y 2 2t(x, y) x 2 ,

причем для любых значений t должно выполняться неравенство

f (t) 0. Такое неравенство для квадратного трёхчлена

y2 t2 2(x, y)t x2 0

174 Глава 4. Линейные пространства

справедливо при всех значениях переменной t тогда и только тогда,

когда дискриминант квадратного трёхчлена не положителен. Требо-

вание

Отметим (без доказательства) достаточно очевидные свойства

причем, последнее неравенство является следствием неравенства Коши-Буняковского (4.19).

если их скалярное произведение равно нулю: (x, y) 0.

Как и для геометрических векторов, равенство нулю скалярного произведения векторов равносильно тому, что угол между этими

векторами равен .

2

Пример 4.9. В трёхмерном пространстве геометрических векторов с базисом i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) скалярное произведение

векторов a x1i y1 j z1k и b x2i y2 j z2k можно опреде-

лить известным равенством:

(a,b) x1x2 y1 y2 z1z2.

Нетрудно проверить, что все аксиомы 1 - 4 выполняются.

В самом деле, во-первых, такое произведение симметрично, по-

скольку

(b,a) x2 x1 y2 y1 z2 z1 (a,b).

Во-вторых, для любого вектора c x3i y3 j z3k имеем

(a,b c) x1(x2 x3 ) y1(y2 y3 ) z1(z2 z3 )

(x1x2 y1 y2 z1z2 ) (x1x3 y1 y3 z1z3 ) (a,b) (a,c).

Кроме этого, для любого действительного числа

( a,b) x1x2 y1 y2 z1z2

(x1x2 y1 y2 z1z2 ) (a,b).

Наконец, четвёртая аксиома скалярного умножения также выполня-

нулевой. Для нормы (длины) вектора a и угла между векторами

получим известные формулы:

Пример 4.10. В линейном пространстве С a,b функций, непре-

рывных на отрезке [a,b], скалярное произведение двух элементов можно задать с помощью определенного интеграла формулой:

b

( f ,g) f (t)g(t)dt.

a

Проверим справедливость четырёх аксиом:

bb

f (t)g(t)dt f (t) (t)dt ( f ,g) ( f , );

aa

b b

3) ( f ,g) f (t)g(t)dt f (t)g(t)dt ( f ,g);

a a

b

4)( f , f ) f 2 (t)dt.

a

Для любой положительной непрерывной на отрезке a,b функции

во всех точках отрезка.

Норму элемента и угол между элементами вычисляют по форму-

лам:

● Вычисление скалярного произведения в произвольном

базисе

В этом разделе мы получим формулу для вычисления скалярного

произведения векторов произвольного евклидова пространства, но сначала ограничимся случаем, когда dimV 3 и базис пространст-

Предположим, что нам уже известны (заданы) скалярные произ-

ведения векторов базиса — числа gij , i, j {1,2,3}:

6 Пространство V не обязательно является пространством геометрических векторов, это произвольное евклидово пространство.

178 Глава 4. Линейные пространства

обладает следующими свойствами. Во-первых, все элементы ее главной диагонали положительны, а во-вторых, матрица G — сим-

метрическая, поэтому GT G.

Определение 4.14. Числа gij называются метрическими коэффици-

ентами, а матрица G называется матрицей метрических коэффи-

циентов (или матрицей Грама) элементов базиса.