35 |
Молекулярная физика |
2.3. Термодинамическая шкала температур
1. В 1848 г. Вильям Томсон (лорд Кельвин) указал, что теоремой Карно можно воспользоваться для построения рациональной температурной шкалы, не зависящей от индивидуальных особенностей термометрического вещества и устройства термометра.
Из теоремы Карно следует, что к. п. д. цикла Карно может зависеть только от температур нагревателя и холодильника. Обозначим буквами t1 и t2 эмпирические температуры нагревателя и холодильника, измеренные каким-либо термометром Тогда
η= |
Q1−Q2 |
= f (t1, t2) |
(1) |
|
|||
|
Q2 |
|
|
где f (t1, t2) — универсальная функция выбранных эмпирических температур t1 и t2. Ее вид не зависит от устройства машины Карно и от рода используемого рабочего вещества.
Чтобы построить термодинамическую шкалу температур, введем более простую универсальную функцию
|
|
|
|
|
Q1 |
=ϕ(t1, t2) |
(2) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
очевидно, что эти фунцкции связаны |
|
||||||
f (t1,t2 )= |
Q1−Q2 |
= |
Q1 |
−1=ϕ(t1, t2)−1 |
|
||
Q2 |
|
|
|||||
|
|
Q2 |
|
||||
Определим вид этой функции ϕ(t1, t2)
Для этого рассмотрим 3 цикла Карно. Т.е. имеется 3 тепловых резервуара, поддерживаемых при постоянных температурах
t1
t2
t3
Для циклов Карно 1234 и 4356 можно написать
Q1 =ϕ(t1, t2)
Q2
Q2 =ϕ(t2, t3)
Q3
36 |
Молекулярная физика |
Исключив отсюда тепло Q2, получим
Q1 =ϕ(t1, t2 )ϕ(t2, t3 )
Q3
Сдругой стороны для цикла 1256
Q1 =ϕ(t1, t3 )
Q3
Т.о.
ϕ(t1, t3 )=ϕ(t1, t2 )ϕ(t2, t3)
или
ϕ(t1, t2)= |
ϕ(t1, t3) |
= |
Q1 |
(3) |
|
ϕ(t2, t3) |
Q2 |
||||
|
|
|
Это соотношение не должно зависеть от t3. т. к. в этот цикл не входит 3-й резервуар, температура, которого может быть произвольной. Следовательно функция должна иметь вид:
ϕ(t1, tk )=Θ(t1)Θ(tk ) |
(4) |
|
|
|
|
|
тогда |
|
Q1 |
|
Θ(t1 ) |
|
|
|
|
= |
(5) |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
Q2 |
Θ(t2 ) |
|||
|
|
|
|
|||
Так как величина |
Θ(t) зависит только от температуры, то она сама может быть |
|||||
принята за меру температуры тела.
Величину Θ и называют абсолютной термодинамической температурой.
Абсолютную температуру условились считать положительной Можно доказать, что абсолютная термодинамическая температура не может менять
своего знака, т.е. абсолютная термодинамическая температура не может принимать отрицательных значений.
Предположим, что существует тело, абсолютная температура которого отрицательна. Используем его в качестве холодильника в тепловой машине Карно. В качестве нагревателя возьмем другое тело, абсолютная температура которого положительна. В этом случае получим противоречие со вторым законом термодинамики. (без доказательства)
Самая низкая температура, допускаемая постулатом второго начала термодинамики, есть 0. Эта температура называется абсолютным нулем температур.
Второе начало термодинамики не может ответить на вопрос, достижим или не достижим абсолютный нуль температур. Оно позволяет лишь утверждать, что
охладить тело ниже абсолютного нуля невозможно.
Достижимость абсолютного нуля решается в рамках 3-его закона термодинамики.
37 |
Молекулярная физика |
2.4.Тождественность термодинамической шкалы температур со шкалой идеально-газового термометра
осуществим цикл Карно, взяв в качестве рабочего тела идеальный газ. Для простоты будем предполагать, что количество газа равно одному молю.
Q1
Q2
1-2 Изотермический процесс
По первому началу δ Q=dU +PdV . Так как U=U(T), dU=0
δQ= PdV , PV=RT
Интегрируя это выражение, находим
Q1=RT 1 ln(V 1 /V 2 )
Аналогично
3-4 Изотермический процесс
Q2= RT 2 ln(V 3 /V 4)
Тогда
Q1 |
= |
T 1 ln(V 1 /V 2) |
||
Q2 |
T 2 |
|
ln(V 3 /V 4) |
|
(2-3) (4-1) адиабатический процесс
TV γ−1=const
T1 V γ2−1=T 2 V γ3−1
T1 V γ1−1=T 2 V γ4−1
38 |
|
|
|
|
|
|
Молекулярная физика |
|
поделим одно на другое |
||||||||
|
V 1 |
|
V 3 |
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
V 2 |
V 4 |
||||||
получим |
||||||||
|
|
Q1 |
= |
T 1 |
(1) |
|||
|
|
Q2 |
|
|||||
|
|
|
|
T 2 |
||||
Это соотношение справедливо и для таких идеальных газов, у которых величина γ зависит от температуры.
Из этого соотношения следует, что абсолютная термодинамическая шкала температур станет тождественной с соответствующей температурной шкалой идеально-газового термометра, если в обоих случаях температуре основной реперной точки одно и то же значение.
Например, температуре таяния льда припишем 273.16K.
Используя формулу (1) можно получит выражение для КПД машины Карно, у которой в качестве рабочего вещества используется идеальный газ
η= |
Q1−Q2 |
= |
T 1−T 2 |
Q1 |
T 1 |
2.5. Преобразование теплоты в механическую работу при изотермическом процессе. Вторая теорема Карно
Теплота - энергия, передаваемая от тела с более высокой температурой телу с меньшей температурой, например, при их контакте. Сама по себе такая передача энергии не сопровождается совершением работы, потому что при этом нет перемещения каких-либо тел. Она приводит лишь к увеличению внутренней энергии тела, которому теплота передается, и к выравниванию температур, после чего прекращается и сам процесс теплопередачи. Но если тепло передается телу, которое при этом может расширяться, то оно может совершить работу.
Согласно закону сохранения энергии
δQ=dU +δ A
Наибольшая 'работа совершается при изотермическом процессе, когда внутренняя энергия не изменяется, так что
δQ=δ A
Большей работа, конечно, не может быть.
Следовательно, для получения максимальной работы, равной подведенной теплоте, нужно передавать теплоту расширяющемуся телу так, чтобы между ним и источником теплоты не было разности температур.
Правда, если между источником теплоты и телом, которому она передается, нет разности температур, то теплота и передаваться не будет!
На практике, чтобы теплота передавалась, достаточно и бесконечно малой разности температур, что почти не отличается от полной изотермичности. Процесс передачи теплоты идет при таких условиях бесконечно медленно и поэтому обратим. Т.о. цикл
39 |
Молекулярная физика |
Карно — это идеализированный цикл, при котором производится за цикл бесконечномалая работа и его можно считать обратимым, т. к. диссипативными процессами пренебрегаем.
Реальный процесс — диссипативный, т. к. часть тепла идет на увеличение внутренней энергии и работа в этом случае
δ Aн =δQ−dU ≤δQ=δ Aр
Т.о. необратимый процесс приводит к увеличению внутренней энергии тела в ущерб работе.
δ Aн ≤δ Aр
Отсюда следует вторая теорема Карно: Коэффициент полезного действия всякой тепловой машины не может превосходить коэффициент полезного действия идеальной машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами нагревателя и холодильника.
η=Q1−Q2 ≤ T 1−T 2 (1) |
|
Q1 |
T 1 |
Но если рассматривать наш процесс стойки зрения изменений, происходящих в самом рабочем теле, то Q1 и Q2 — это количество теплоты, полученное и соответственно отданное рабочим телом. Этим величинам Q1 и Q2 нужно, очевидно, приписать противоположные знаки. Будем считать полученное телом количество теплоты Q1 положительным; тогда Q2 отрицательно.
Следовательно, неравенство (1) перепишется в виде:
Q1+Q2 |
≤ |
T 1−T 2 |
Q1 |
T 1 |
В случае обратимых процессов
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Молекулярная физика |
|
|
Q1+Q2 =T 1−T 2 |
1+Q2 =1− T 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Q1 |
|
|
|
T 1 |
|
Q1 |
|
T 1 |
|
Q1 |
|
|
|
Q2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
=0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 1 |
|
T 2 |
|
|||||
А в случае необратимого (неравновесного) процесса |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
+ |
Q2 |
<0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 1 |
|
|
T 2 |
|
||||
Далее мы обобщим эти соотношения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Эти соотношения можно обобщить следующим образом: |
||||||||||||||||||||
|
Q1 |
+ |
Q2 |
≤0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
T 1 |
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 δ Q |
|
|
1 δ Q |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 T 1 |
+∫2 T 2 |
≤0 |
|||||||
или
δTQ ≤0
Это соотношение называется неравенством Клаузиуса.
(2)
(3)
(4)