101 |
Молекулярная физика |
3) Следствие: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение рана нулю.
Плотность функции распределения:
b |
b |
|
∫ |
∫ |
f (x)dx |
P(a≤X ≤b)=F (b)−F (a)= |
F ' (x)dx= |
|
a |
a |
|
т.е.
f (x)= dF (x) dx
Связь F(x) и f(x)
x
F(x )=∫ f (x)dx
−∞
Основное свойство плотности функции распределения:
∞
∫ f (x)dx=1
−∞
Математическое ожидание:
b
с=M {a}=∫с(x )f (x)dx
a
Где с(x) – случайная величина определенная на интервале [a,b].
Среднее значение
∞
x=M {x}=∫ x f (x)dx
−∞
Среднеквадратическое отклонение:
∞
(x−x)2=∫(x−x)2 f (x)dx=M {x^2}−M2 {x}
−∞
6.7. Распределение молекул по скоростям
Теперь вернемся к формуле барометрической формуле dndx =C exp(− mgxKT )
Перепишем ее в виде
(− U )
f (u)=C e KT
Это та-же формула Больцмана, только f(u) – имеет смысл плотности функции распределения. Физики обычно опускают термин «плотность» и просто говорят функция распределения.
Теперь можно легко ввести функцию распределения молекул по скоростям. Для этого будем полагать, что это кинетическая энергия.
U= mv2 2x
102 |
|
|
|
Молекулярная физика |
|
dnx |
( |
mvx2 |
) |
|
2 KT |
|||
|
|
=f (vx)=C e |
|
|
|
nx dvx |
|
||
Константу C можно найти из условия нормировки:
∞ |
mvx2 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
m |
|
|
||||||
∫ e− |
2 KT |
= |
|
|
|
|
|||||
|
2 π KT |
||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
Т.о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mvx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (v x)=√ |
|
m |
|
|
− |
||||||
|
|
|
2 kT |
||||||||
|
e |
|
|
||||||||
2 π kT |
|
|
|||||||||
Аналогично запишем и для других компонент скоростей
|
|
|
|
|
mvy2 |
|
|
|
|
|
mvz2 |
|
√ |
m |
− |
|
√ |
m |
− |
||||
|
2 kT |
|
2 kT |
||||||||
f (vy )= |
|
|
|
e |
|
f (vz)= |
|
|
|
e |
|
|
2 π kT |
|
|
|
2 π kT |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значения составляющих скорости по каждой из осей координат не зависят от значений составляющих по другим осям. Поэтому вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трем указанным условиям, есть вероятность сложного «события». А она, как мы знаем, равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности. Если мы обозначим через dn число-молекул в единице объема газа ( dnxyz=dnx dn y dnz ), составляющие которых по осям координат лежат в
пределах, указанных выше, то мы можем написать:
|
dnxyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
3/ 2 |
− |
mvx2+mv2y+mvz2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|||||
|
|
=f (v x)f (v y) f (v z )= |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||||||
|
ndvx dv y dvz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2 π kT ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Перепишем последнюю формулу в виде: |
mv2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dnxyz=n( |
m |
) |
e− |
|
|
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 kT dv x dvy dvz |
|||||||||||||||
Очевидно, что |
|
|
2 π kT |
|||||||||||||||||
|
|
3/ 2 |
|
mv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
∞ |
|
m |
e− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dnxyz=n |
|
|
|
2 kT dv x dvy dvz =n |
|
|
|
|||||||||||||
(2 π kT ) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
−∞ |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В формуле (1) в показателе экспоненты стоит величина v2 которая принимает только положительные значения и не зависит от проекции скорости. Чтобы найти функцию распределения f(v) поступим следующим образом:
Интеграл
∞ |
3/ 2 |
|
mv2 |
||
−∞ |
( |
m |
) |
e− |
2 kT dv x dv y dvz=1 |
2 π kT |
|||||
Сделаем переход от декартовой системы координат к сферической