Кравченко. Практикум
.pdf122 |
12. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ (соединение треугольником) |
Задача 12.5
В цепи (рис. 12.8) система линейных напряжений генератора симметрична.
С помощью векторной диаграммы определить мощность, измеряемую ваттметром.
Ответ: PW 3Qф , где Qф – реактивная
мощность фазы генератора.
Рис. 12.8
13. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения)
Основные сведения
Метод симметричных составляющих используется в основном в тех случаях, когда цепь содержит динамические элементы (вращающиеся генераторы и электродвигатели). В соответствии с этим методом несимметричная система трехфазной цепи разлагается на три симметричные (прямой, обратной и нулевой последовательностей), при выборе в качестве основной одной из фаз, например, фазы А.
А0
|
А2 |
|
A1 |
|
|
|
|
A |
|
|
B2 |
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
А0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
B |
|
|
|
|
B0 |
|
= |
+ |
|
+ |
C0 |
|
|
B0 |
|
|
|||
C1 |
B2 |
|
B1 |
|
|
|
B1 |
|
C2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
C C1
C2
C0
Расчет каждой из симметричных последовательностей осуществляется на одну фазу. Искомые величины определяются по принципу наложения как совокупность рассчитанных симметричных составляющих.
Разложение несимметричной системы А, В, С на три симметричные системы
|
Прямая последовательность |
|
|
|
Обратная последовательность |
|
|
Нулевая последо- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(А2, В2, С2) |
|
|
|
|
вательность |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(А1, В1, С1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(А0, В0, С0) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
1 |
(A aB a2C) , |
|
a 1ej120 , |
|
|
|
A |
|
|
1 |
(A a2 B aC), |
|
|
A |
|
|
1 |
(A B C) , |
||||||||||||||
1 |
3 |
|
|
|
|
|
a2 1ej240 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
C a2 A |
|
|
0 |
3 |
||||||||||||
B a2 A , |
C |
1 |
aA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B aA , |
|
|
|
A0 B0 C0 |
|||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Представление несимметричной системы А, В, С совокупностью трех симметричных |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A A A |
2 |
A , |
B B B |
2 |
B |
0 |
или B a2 A aA |
2 |
A |
0 |
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C C |
1 |
C |
2 |
C |
0 |
или |
C aA |
a2 A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
124 |
13. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения) |
Билиографический список к разделу 13
1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-
тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 10.7, 11.1–11.4.
2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –
М.: Гардарики, 2002. – § 6.20, 6.21.
ПРИМЕРЫ
Задача 13.1
Разложить несимметричную систему фазных на-
пряжений UA, UB, UС (рис. 13.1) на симметричные составляющие аналитическим и графическим методами. Модули фазных напряжений
UA = UB = UС = 254,5 В.
Определить симметричные составляющие линейных напряжений.
Рис. 13.1
Решение
А. Аналитический способ 1. Представление фазных напряжений в комплексной форме:
UA = 254,5 –45° В, UB = 254,5 –135° В, UC = 254,5 135° В.
2. Определение симметричных составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей фазного напряжения UA:
UA1 = 1 (UA + аUB + а2UС) = 3
=1 (254,5 –45° + 254,5 –15° + 254,5 15°) = 231,8 –15° В. 3
UA2 = 1 (UA + а2UB + аUС) = 3
=1 (254,5 –45° + 254,5 105°+ 254,5 255°) = 62,1 –75° В, 3
125
UA0 = 1 (UA + UB + UС) = 3
=1 (254,5 –45°+ 254,5 –135° + 254,5 135°) = 84,8 –135° В. 3
Б. Графический способ (рис. 13.2) 1. Выбор масштаба:
mU = 60 В/см.
2. Порядок построения:
на комплексную плоскость +, j (рис. 13.2) наносятся векторы фазных напряжений UA, UB,
UC (векторы ОА,ОВ ,ОС );
строятся вспомогательный треугольник ABC, а также два равносторонних треугольника ВСD1 и BCD2 (со сторонами, равными отрезку
BC);
из вершин D1 и D2 |
построенных тре- |
||||||
угольников проводятся лучи D1A и D2A в точ- |
|||||||
ку А (конец вектора OA); |
|
|
|
Рис.13.2 |
|||
определяется положение центра тяжести (точка 01) треугольника ABC. |
|||||||
Примечание. Центр тяжести треугольника – точка пересечения его медиан. |
|||||||
3. Определение UA1, UA2, UA0 |
|||||||
Лучи D1A и |
D2A определяют утроенные значения комплексов симмет- |
||||||
ричных составляющих фазного напряжения UA соответственно прямой и об- |
|||||||
ратной последовательности, |
а луч 001 определяет нулевую составляющую |
||||||
фазного напряжения UA, т. е. |
|
|
|
||||
|
|
D1A = 3UA1, D2A = 3UA2, 001= UA0. |
|||||
С учетом масштаба и пространственной ориентации лучей D1A, D2A, 001 |
|||||||
(рис. 13.2) |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
= |
D1A |
m |
|
11,55 15 |
60 231,8 15 В, |
|
|
|
|||||
A1 |
3 |
U |
3 |
|
|||
|
|
|
126 |
13. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения) |
||||||
|
U |
= |
D2A |
m |
|
3,105 75 |
60 62,1 75 В, |
|
|
|
|||||
|
A2 |
|
3 U |
3 |
|
UA0 = 001mU = 1,41 –135°60 = 84,8 –135° В.
4. Зная симметричные составляющие фазного напряжения UA, можно определить симметричные составляющие фазных напряжений UВ и UС:
UВ1 = a2UA1 = 231,8 –135° B,
UВ2 = aUA2 = 62,1 45° B,
UВ0 = UA0 = 84,8 –135° B,
UC1 = aUA1 = 231,8 105° B,
UC2 = a2UA2 = 62,1 –135° B,
UC0 = UA0 = 84,8 –135° B.
5. Симметричные составляющие линейных напряжений:
UАВ1= UA1– UВ1 = 231,8 –15°– 231,8 –135°=3UA1ej30 = 401,5 15° В,
UАВ2= UA2– UВ2 = 62,1 –75° – 62,1 45°= |
3 |
U |
A2e j30 = 107,6 –105° В, |
||||
|
|
|
|||||
|
|
UАВ0 = UA0 – UВ0 = 0, |
|
||||
U |
= а2U |
= 401,5 –105° В, U |
= аU |
= 107,6 15° В, |
|||
ВС1 |
АВ1 |
ВС2 |
|
|
|
АВ2 |
|
UBC0 = UАВ0 = 0,
UCA1 = аUАВ1 = 401,5 135° В, UCA2 = а2UАВ2 = 107,6 135° В,
UCA0 = UАВ0 = 0.
Ответ: UA1 = 231,8 –15° В, UA2 = 62,1 –75° В, UA0 = 84,8 –135° В. UAB1 = 401,5 15° В, UAB2 = 107,6 –105° В, UAB0 = 0.
Задача 13.2
Трехфазный несимметричный генератор, система фазных напряжений которого представлена на рис. 13.1 (задача 13.1), питает симметричную нагрузку, соединенную звездой (рис. 13.3). Сопротивление фазной нагрузки rф = 2 Ом.
127
Сопротивления каждой фазы генератора токам прямой последовательности zг1 = j3 Ом, токам обратной последовательности zг2 = j2 Ом, токам нулевой последовательности zг0 = j1 Ом. Методом симметричных составляющих определить токи в линейных проводах цепи.
Рис. 13.3
Решение
Представив несимметричную систему фазных ЭДС совокупностью симметричных составляющих (величины которых определены в задаче 1), получим расчетную схему, изображенную на рис. 13.4.
UA1 |
UA2 |
U А0 zг1 zг2 zг0 |
r |
|
|
|
IA |
|
|
UB1 |
UB2 |
UВ0 |
r |
|
0 |
|
IB |
01 |
|
|
|
|
||
UC1 |
UC2 |
U С0 |
r |
|
|
|
IC |
|
Рис.13.4
128 |
13. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения) |
Для каждой из симметричных составляющих расчет может проводиться на одну фазу.
1. Расчет симметричной системы прямой последовательности.
Схема замещения фазы А для прямой последовательности представлена на рис. 13.5. В соответствии с законом Ома
IA1 UA1 zг1 r
|
|
231,2 15 |
|
231,2 15 |
64,2 71,31 A . |
|
|||||
|
j3 2 |
|
|||
Рис. 13.5 |
|
|
3,6 56,31 |
||
|
|
|
|
|
2. Расчет симметричной системы обратной последовательности.
Схема замещения фазы А для обратной последовательности представлена на рис. 13.6. В соответствии с законом Ома
I |
A2 |
|
U |
A2 |
|
69,4 75 |
|
|
|
|
|||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
zг2 r |
|
j2 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
69,4 75 24,6 120 А.
2,82 45 |
Рис. 13.6 |
|
3. Расчет симметричной системы нулевой последовательности.
Схема замещения фазы А для нулевой последовательности представлена на рис. 13.7. В соответствии с законом Ома
|
|
I |
A0 |
U |
A0 |
|
|
84,8 135 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
zг0 r |
|
||||||||
|
|
|
|
|
j1 2 |
||||||
|
84,8 135 |
37,9 161,6 А. |
|||||||||
2,236 26,57 |
|||||||||||
|
|
|
|
Рис. 13.7
4. Определение фазных токов исходного несиммет-
ричного режима:
IA = IA1 + IA2 + IA0 =
= 64,2 –71,3° + 24,6 –120° + 37,9 –161,6° = 98 –106,4° А,
IB = IB1 + IB2 + IB0 = a2 IA1 + aIA2 + IA0 =
= 64,2 –191,3° + 24,6 0° + 37,9 –161,6° = 74,3 179,5° A,
129
IC = IC1 + IC2 + IC0 = aIA1 + a2IA2 + IA0 =
= 64,2 48,7° + 24,6 120° + 37,9 –161,6° = 57,87 95,84° A.
Ответ: IA = 98 A, IB = 74,3 A, IC = 57,87 A.
Задача 13.3
На входе цепи (рис. 13.8) с динамической нагрузкой (электродвигатель)
действует несимметричная система линейных напряжений UAB, UBC, UCA,
симметричные составляющие которых определены в задаче 13.1. Сопротивление динамической нагрузки для токов прямой последовательности
z1 = (6+j8) Ом, для токов обратной последователь-
ности z2 = (6+j4,5) Ом. Определить токи IA, IB, IC.
Решение
1. Симметричным составляющим |
линейных |
|
напряжений на входе цепи (см. задачу 13.1) |
Рис.13.8 |
|
UAB1 = 401,5 15° В, |
UAB2 |
= 107,6 –105° В |
соответствуют симметричные составляющие фазной ЭДС (например, фазы А): прямой последовательности:
EA1=UAB1 30 401,5 (15 30 ) 231,8 15 В;
3 |
|
3 |
|
|||||||
обратной последовательности: |
||||||||||
EA2 = |
U |
AB |
2 |
30 |
107,6 |
|
( 105 30 ) 62,1 75 В. |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|||||||||
3 |
|
2. Определение составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей тока фазы А.
13013. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения)
Составляющая тока фазы А прямой последовательности: схема замещения фазы симметричного режима прямой последовательности представлена на
рис.13.9. Из схемы следует:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IA1 = |
EA1 |
|
231,8 15 |
23,18 68,2 A. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
6 j8 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составляющая тока фазы А обратной после- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довательности: из схемы замещения фазы симмет- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Рис. 13.9 |
|
ричной цепи режима обратной последовательности |
||||||||||||||||
(рис. 13.10) вытекает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I A2 |
|
EA2 |
|
62,1 75 |
8,28 111,8 A. |
|||||||
z2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 j4,5 |
|
|
|
|
|
|
Составляющая тока фазы А нулевой последова- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
тельности равна нулю, поскольку в цепи (рис. 13.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
отсутствует нулевой провод, и схема замещения фазы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
для режима нулевой последовательности имеет вид, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
представленный на рис. 13.11. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.10 |
|||||||||
|
|
Естественно, что IA0 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. Определение линейных токов исходного несимметричного режима: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IA = IA1 + IA2 + |
|
I |
A0 = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 23,18 –68,2° + 8,28 –111,8° = 29,73 –79,3° А, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IB = IB1 + IB2 + |
I |
B0 = a2 IA1 + aIA2 + |
|
I |
A0 = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Рис. 13.11 |
= 23,18 (–68,2° + 240°) + 8,28 (–111,8° + 120°) = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 15,4 163° A, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IC = IC1 + IC2 + |
I |
C0 = aIA1 + a2IA2 + |
I |
A0 = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 23,18 (–68,2°+120°) +8,28 (–111,8°+240°) = 26,4 69,6° A. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Ответ: IA =29,73 –79,3° А, IB = 15,4 163° A, IC = 26,4 69,56° A. |
131
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 13.4
Система фазных напряжений (рис. 13.12) несимметрична. Действующие значения напряжений:
UA = 330 В, UB = UC = 156 В.
|
Определить симметричные составляющие пря- |
|||||||||||||
мой, обратной и нулевой последовательностей фаз- |
||||||||||||||
ного напряжения UA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рис. 13.12 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: UA1 = 200 В, UA2 = 20 В, UA0 = 110 В. |
|||||||||||||
Задача 13.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C |
|
|
|
|
|
|
На рис. 13.13 изображена схема фильтра |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
симметричных составляющих линейных напря- |
|||||||
B |
|
|
|
|
|
|
жений. Доказать: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
при zA = z –60°, rV = z, zC = z 60° показа- |
|||||||
A |
|
|
|
|
|
|
ние вольтметра пропорционально составляющей |
|||||||
|
|
zC |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
zA |
|
|
|
прямой последовательности; |
|||||||||
|
rV V |
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
при zA = z 60°, rV = z, zC = z –60° показа- |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
Рис. 13.13 |
ние вольтметра пропорционально составляющей |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обратной последовательности.
Ответ: для прямой последовательности симметричного источника из уравнения по методу узловых потенциалов
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
EA |
|
EA 120 |
|
EA 120 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 60 |
z |
z 60 |
||||||||||
1 |
z 60 |
|
z z 60 |
|
|
|
||||||||||||||
следует, что |
|
1 |
E |
A |
60 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|