Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4661 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Новосибирский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Кравченко. Практикум

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
3.97 Mб
Скачать
☆

19218. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

3.Построение временной зависимости осуществляется по таблице, в которой значения тока в тот или иной момент времени определены по соотноше-

ниям (9) и (15).

Таблица

0 t 12

t, мc

0

3

6

9

12

i, A

0

1,04

1,8

2,32

2,8

 

12 t

t, мc

12

15

32

52

72

i*, A

2,8

3,54

6,08

7,295

7,741

 

График переходного тока i(t) представлен на рис. 18.4.

Рис. 18.4

Задача 18.2

r1

1

L2

i2

 

 

*

 

i1

К

M

 

*

r2

E1

L3

 

 

 

r3

 

 

 

 

Е2

 

 

i3

 

 

 

2

Рис. 18.5

E1 = 30 В; Е2 = 20 В;

L2 = 0,2 Гн;

L3 = 0,4 Гн;

М = 0,1 Гн;

r1 = 10 Ом;

r2 = r3 = 20 Ом.

Определить переходный ток i3(t).

Решение

После коммутации в цепи остается один контур, поэтому

i3(t) = i2(t) = i(t).

193

Дифференциальное уравнение, описывающее режим цепи после коммутации c учетом встречного включения индуктивно связанных катушек:

di

(r3 r2)i (L1 L2 2M) dt E2 .

Общее решение уравнения (1):

i= iпр + iсв.

Принужденная составляющая тока:

i

 

 

E2

 

20

0,5 А.

r

 

 

пр

 

r

20 20

 

2

3

 

 

 

(1)

(2)

(3)

Свободная составляющая переходного тока. Характеристическое уравнение дифференциального соотношения (1) имеет вид

r3 r2 (L1 L2 2M)p 0,

откуда

p

r3 r2

 

20 20

100c 1,

L2 L3 2M

0,2 0,4 0,2

 

 

 

и, как результат, свободная составляющая искомого тока

i (t) Aept

Ae 100t .

(4)

св

 

 

С учетом (3) и (4) искомый переходный ток определится соотношением

i(t) 0,5 Ae 100t .

(5)

Расчет постоянной интегрирования. Как следует из (5), в начальный момент после коммутации (t = 0+) имеем

i(0+) = 0,5 + A.

(6)

Сучетом того, что рассматриваемая цепь допускает скачки токов в ветвях

синдуктивностями (закон коммутации в тривиальной форме неприемлем), для определения начальных условий необходимо использовать обобщенный закон коммутации, в соответствии с которым

(0 ) (0 ).

(7)

k

k

 

194

18. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Применительно к рассматриваемой цепи (рис. 18.5), с учетом встречного включения индуктивно связанных катушек, тождество (7) представляется в виде

L3i3(0 ) Mi2(0 ) L2i2(0 ) Mi3(0 )

(L3 M)i3(0 ) (L2 M)i2(0 ).

(8)

Расчет установившегося докоммутационного режима целесообразно проводить с использованием метода узловых потенциалов. В соответствии с этим методом для цепи (рис. 18.5) при исходном положении ключа

 

 

 

 

E1

 

E2

 

 

 

30

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (0

 

)

 

r1

 

r2

 

 

 

 

10 20

 

20 В.

 

 

1

 

1

1

 

1

12

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

r1

r2

r3

 

10

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

Докоммутационные значения токов в индуктивных элементах (на основа-

нии закона Ома):

i3(0 ) U12(0 ) 20 1 А; r3 20

i2(0 ) E2 U12(0 ) 20 20 0 А.

r2 20

В соответствии с (8) значения токов после коммутации (начальные условия):

i2(0 ) i3(0 ) i(0 ) L3i3(0 ) Mi2(0 ) L2i2(0 ) Mi3(0 )

L2 L3 2M

0,4 1 0,1 0 0,2 0 0,1 1 0,75 А. 0,2 0,4 2 0,1

Начальное значение переходного тока i(0+) позволяет определить постоянную интегрирования А из тождества (6) 0,75 = 0,5 + А, откуда А = 0,25.

В результате

i(t) = 0,5 + 0,25e–100t A.

Ответ: i(t) = 0,5 + 0,25e–100t A.

195

Задача 18.3

В цепи, представленной на рис. 18.6, известно:

i

i2

 

Е = 100 В, r = 3 Ом, r1 = 5 Ом, r2 = 2 Ом.

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

Определить значения токов в цепи и напряже-

 

 

К

 

 

r2

ние на индуктивности в начальный момент после

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

коммутации (t = 0+).

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

r1

uL

 

L

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Начальные значения всех искомых функций

Рис. 18.6

 

могут быть найдены из уравнений, описывающих

 

состояние рассматриваемой цепи (на основе законов Кирхгофа) в начальный момент (t = 0+) переходного процесса:

 

 

 

i(0 ) i1(0 ) i2(0 ) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) ri (0

 

 

) u

 

 

(0

 

 

) E,

(1)

 

 

 

ri(0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri(0

 

) r i (0

 

) u

L

(0

 

) E.

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

До коммутации в рассматриваемой схеме

 

 

 

 

 

u (0

) = 0;

i(0

 

) i

(0

 

 

)

 

 

 

E

 

 

 

100

20 А.

 

 

 

 

r r

 

3 2

 

C

–

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

По законам коммутации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uC(0–) = uC(0+) = 0; i2(0–) = i2(0+) = 20 A.

C учетом законов коммутации система уравнений (1) принимает вид

i(0 ) i1(0 ) 20 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) ri (0

 

 

) 0 E,

(2)

ri(0

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri(0

 

) r i (0

 

) u

L

(0

 

) E.

 

2 2

 

 

 

 

Из (2) следует: i(0+) = 25 A; i3(0+) = 5 A; uL(0+) = –15 B.

Ответ: i(0+) = 25 A; i2(0+) = 20 A; i3(0+) = 5 A; uL(0+) = –15 B.

196

 

 

 

18. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Задача 18.4

 

 

 

 

 

 

К

 

В цепи (рис. 18.7) известно:

 

 

i2

 

Е = 100 В, r = 5 Ом, r = 30 Ом,

 

 

 

 

 

1

2

 

i1

r2

e(t)

 

е(t) = 169 sin (300t) В,

 

E

 

 

i3

С = 200 мкФ, L = 100 мГн.

 

 

 

Определить i3(t) после замыкания ключа.

 

 

 

 

 

 

L

C

 

 

 

 

Решение

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

1. Общее решение искомого тока:

 

 

R1

 

 

 

 

Рис. 18.7

 

i3 = i3пр + i3св.

(1)

2. С учетом того, что постоянный ток через конденсатор не протекает, принужденная составляющая искомого тока обусловлена лишь синусоидальным источником e(t) (сначала определяется комплекс установившегося синусоидального тока, а затем записывается его мгновенное значение):

I3прm

 

 

Em

 

 

 

169

 

10 74

 

A;

r (r

jωL)

 

1

5(30 j30)

 

 

 

 

1 2

 

j

 

 

 

j16,7

 

 

 

 

 

r1 r2 jωL

ωC

 

5 30 j30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i3пр 10 sin(300t 74 ) А.

 

 

(2)

3. Характеристическое уравнение и его корни.

Определитель системы алгебраизированных уравнений, составленных по методу контурных токов:

 

 

 

r

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

pC

 

 

 

 

(p)

 

 

 

 

pC

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

1

 

r

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pC

 

2

 

 

 

 

 

pC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

1

r pL

 

1

 

1

 

0.

 

 

 

 

 

 

1

pC

 

2

 

 

 

 

 

 

 

p2C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pC

 

Откуда

p2 1300p 350000 0 и

p1,2 650 6502 35 104 ; p1 = 380 c–1; p2 = 920 c–1.

 

 

 

 

 

 

 

197

Следовательно, свободная составляющая искомого тока

 

 

i3св = А1е –380t + А2е –920t.

 

(3)

4. С учетом (1)–(3) общее решение искомого тока

 

i3(t) = 10 sin(300t 74 )+ А1е –380t + А2е –920t A.

(4)

5. Определение постоянных интегрирования. Продифференцируем урав-

нение (4):

 

 

 

 

 

 

 

i 10 300cos(300t 74 ) 380Ae 380t

920A e 920t

(5)

3

 

1

 

 

 

2

 

и запишем соотношения (4) и (5) для t = 0+:

 

 

 

 

 

i

(0 ) = 10 sin 74

+ А

1

+ А

2

;

(6)

3

+

 

 

 

 

i3(0 ) = 10∙300 cos 74

– 380A1 – 920A2 .

(7)

Далее, для вычисления i3(0+) и i3(0 ) запишем уравнения состояния рассмат-

риваемой цепи (на основе законов Кирхгофа) для переходного режима:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i (t) i (t) i (t) 0,

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

di (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri11

(t) r2i2

(t) L

 

2

 

E,

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri (t)

 

 

i (t)dt E e(t).

 

 

11

 

 

C

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцируем уравнения (8):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1(t) i2(t) i3(t) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

i2

(t)

 

ri

(t) r i

(t) L

 

0,

 

 

 

 

 

 

1 3

2 2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

i3(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri

(t)

 

 

e (t)

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

(9)

198

18. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

и рассмотрим уравнения (8) и (9) для начального момента переходного режима t = 0+:

i (0

 

 

) i (0

 

) i (0

 

 

) 0,

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

di (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri (0

 

) r i (0

 

) L

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

E,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri (0

 

) u

С

(0

 

) E e(0

 

);

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1(0 ) i2(0 ) i3(0 ) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

i2(t)

 

 

 

ri11(0 ) r2i2(0 ) L

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i3(0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri (0

 

 

)

e (0

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с законами коммутации

i

(0

 

) i

(0

 

)

 

E

 

100

2,86A;

 

 

r

r

 

2

 

 

2

 

 

 

 

5 30

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

uC(0+) = uC(0–) = 0.

(10)

(11)

(12)

(13)

Cовместное решение уравнений (10) – (13) позволяет определить искомые i3(0+) и i3(0 ) . Из (10) следует

i1(0 )

E e(0) uС (0 )

 

100 169sin0 0

20A;

 

 

r1

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i3(0+) = i1(0+) + i2(0+) = 20 + 2,86 = 22,86 А;

 

uL(0+) = E + r1i1(0+) – r2i2(0+) = 100 + 5∙20 – 30∙2,86 = 85,8 B;

(14)

 

i3(0 )

22,86

 

4

 

 

uÑ (0 )

 

 

 

 

 

11,43 10

 

В/с.

(15)

 

200 10 6

 

 

 

C

 

 

 

 

199

Из выражений (11), (14), (15) получим

 

 

 

i2(0 )

uL(0 )

 

85,8

858 А/с;

 

 

 

 

 

 

100 10 3

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

(0 )

 

169 300cos0 11,43 10

4

 

i1

(0 )

e

(0) uC

 

 

1,27 104 А/с;

 

r1

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i3(0 ) i1(0 ) i2(0 ) 12700 858 11842 А/с.

С учетом найденных начальных условий тождества (6) и (7) принимают

вид

22,86 = 10 sin 74° + A + A ,

 

 

1

2

 

 

 

 

 

11842 = 10 300 cos 74° 380A 920A

 

 

1

2

или

 

 

 

13,84 = A + A ,

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

12669 = 380A 920A ,

 

 

1

2

 

откуда А1 = 0,118 А; А2 = 13,722 А.

Окончательно

i3(t) 10sin(300t 74 ) 0,118e 380t 13,722e 920t А.

Ответ: i3(t) 10sin(300t 74 ) 0,118e 380t 13,722e 920t А.

Задача 18.5

 

 

 

 

 

 

В цепи (рис. 18.8) известно:

r1

 

2

к

1

 

Е1 = 120 В; Е4 = 30 В;

i1

r2

 

 

 

 

r1 = 40 Ом; r2 = r3 = 20 Ом;

r3

 

 

 

E1

 

 

 

 

L

 

 

 

 

L = 0,5 Гн; C = 100 мкФ.

 

C

 

uC

Е4

 

i2

 

В момент времени t = 0 ключ мгновенно пе-

 

 

 

i3

 

ребрасывается из положения 1 в положение 2.

 

Рис. 18.8

 

 

 

Определить i1(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

1. Общее решение:

i1(t) = i1пр + i1св.

(1)

200 18. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

2. Принужденная составляющая:

i

i

 

 

E1

 

120

2А.

r r

 

1пр

2пр

 

 

40 20

 

 

1

2

 

 

 

3. Свободная составляющая.

Характеристическое уравнение получим, приравняв к нулю определитель системы алгебраизированных уравнений, составленных по методу контурных токов:

 

(r1 r2 Lp)

 

r1

 

 

 

 

(p)

r

 

r r

1

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

3

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

pC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r Lp r r

1

 

 

r2 0,

 

 

 

1 2

 

1

3

 

pC

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

p2 233,3p 20000 0.

Корни характеристического уравнения:

p1 = ( 117 + j80) c–1; p2 = ( 117 j80) c–1 .

Выражение для свободной составляющей искомого тока:

 

i (t) Ae 117t sin(80t ).

 

 

св

 

4.

Общее решение в соответствии с (1):

 

 

i (t) 2 Ae 117t sin(80t ).

(2)

 

1

 

5.

Определение постоянных интегрирования.

 

В начальный момент после коммутации выражение (2) имеет вид

 

 

i1(0 ) 2 Asin .

(3)

Вкачестве дополнительного уравнения для определения постоянных А и

используется выражение для начального значения производной искомого тока:

i1(t) e 117t 117A sin(80t )

e 117t 80Acos(80t ) ;

 

201

i1(0 ) 117Asin 80Acos .

(4)

Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации:

iL(0 ) iL(0 ); uС(0 ) uС(0 ).

Докоммутационные значения тока в индуктивности и напряжения на конденсаторе определяются по докоммутационной схеме (рис. 18.9):

r1

 

 

i1

r2

 

E1

r3

 

L

Е4

 

C

i

uC(0–)

2(0–)

i3

Рис. 18.9

 

i

L

(0

 

) i (0

 

)

 

E1

 

120

2А; u

(0

 

) E

30В.

 

 

r r

40 20

 

 

 

 

2

 

 

 

C

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

Зависимые начальные условия (значения тока i1(0+) и его производной i1'(0 )) определяются посредством решения уравнений состояния цепи и их производных, записанных для t = 0+:

i (0

 

) i (0

 

) i (0

 

 

) 0,

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

(5)

i1(0 )r1 i2(0 )r2

Li2(0 ) E1,

 

i (0

 

)r i (0

 

)r u (0

 

) E ;

 

 

1

 

1

3

 

 

3

 

 

 

С

 

1

 

i (0

 

) i

(0

 

) i

(0

 

 

) 0,

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

(6)

i1(0 )r1 i2(0 )r2

Li2(0 ) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0 ) 0.

 

i1(0 )r1 i3

(0 )r3 uС

 

Из совместного решения уравнений (5) и (6) с учетом независимых на-

чальных условий следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1(0+) = 2,17 A;

 

i1(0 ) 32,9 А/с.

(7)

Найденные начальные значения тока i1(0+) и его производной i1(0 ) по-

зволяют определить постоянные интегрирования А и В из тождеств (3) и (4):

2,17 = 2 + Asin ;

32,9 = 117Asin + 80A cos .

В результате А = –0,245, φ = 43,73 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности