4. Автоматизация процесса оптимизации параметров трансформаторов

1. Концепция ускоренной параметрической оптимизации.

Концепция автоматизированного поиска оптимальных параметров трансформатора заданной структуры основана на методе циклического покоординатного спуска (ЦПС).

Программный комплекс «Аметист», обеспечивает возможность проектного синтеза и оптимизации параметров трансформаторов в интерактивном режиме работы с ПЭВМ. Логическая схема предварительной оптимизации параметров трансформатора заданного технического решения приведена на рис.4.1. Используемые в подсистеме «Аметист» обобщенные математические модели являются позиномиальными функциями, обеспечивающими быструю сходимость поиска к квазиоптимальному решению.

Рис.4.1 Логическая схема оптимального проектирования в подсистеме «Аметист» в интерактивном режиме.

На рис.4.2 показан процесс сходимости значений основных управляемых переменных x, х, В_с, к оптимальным по затратному критерию З_п, реализованный в интерактивном режиме. В программном комплексе «Аметист» проектировщик в интерактивном режиме имеет возможность уточнить конструктивные коэффициенты и технико-экономические данные синтезируемого и оптимизируемого технического решения и вносить необходимые коррективы в исходные данные.

Однако после уточнения структурных, конструктивных и экономических показателей и расчетных коэффициентов уже нет необходимости их уточнять. Из рис.4.2 следует, что количество итерационных циклов для достижения оптимального значения критерия около 4-5. Этот процесс требует определенных затрат времени, которые могут быть существенно сокращены, если его автоматизировать.

Позиномиальный характер функций математических моделей и анализ интерактивного процесса параметрической оптимизации в подсистеме «Аметист» позволяет организовать его автоматизацию на основе метода ЦПС.

Рис.4.2. Cходимость значений управляемых переменных по затратному критерию (ЦФ) в зависимости от количества итерационных циклов.

4.2. Алгоритм процесса оптимизации методом циклического покоординатного спуска.

Программа автоматизированной оптимизации параметров трансформатора основывается на методе ЦПС (рис.4.3), который реализуется по логической схеме, приведённой на рис.4.4. Процесс автоматического поиска оптимальных параметров организуется следующим образом.

Рис.4.3 Блок-схема алгоритма поиска минимума функции n переменных методом циклического покоординатного спуска.

Предположим, что нужно найти минимальное значение целевой функции u=f(M)=f(x₁, x₂,..., x_n). Здесь через М обозначена точка n-мерного пространства с координатами x₁, x₂, ... ,x_n: M=(x₁, x₂, ... ,x_n). Выберем какую-нибудь начальную точку М₀=(x₁⁰, x₂⁰,...,x_n⁰) и рассмотрим функцию f при фиксированных значениях всех переменных, кроме первой : f(x₁, x₂⁰,x₃⁰,..., x_n⁰). Тогда она превратится в функцию одной переменной x₁ . Изменяя эту переменную, будем двигаться от начальной точки x₁=x₁⁰ в сторону спадания функции, пока не дойдем до ее минимума при x₁=x₁¹, после которого она начинает возрастать.

Рис.4.4. Блок-схема оптимального синтеза трансформатора с оптимизацией

управляемых переменных методом ЦПС

Точку с координатами ( x₁¹, x₂⁰,x₃⁰, ... ,x_n⁰) обозначим ч Теперь фиксируем переменные : x₁=x₁¹, x₃= x₃⁰, ... ,x_n=x_n⁰ и рассмотрим функцию f как функцию одной переменной x₂: f(x₁¹, x₂², x₃⁰ . . . ,x_n⁰). Изменяя x₂, будем снова двигаться от начального значения x₂=x₂⁰ в сторону спадания функции пока не дойдем до минимума при x₂=x₂¹ .Точку с координатами {x₁¹, x₂¹, x₃⁰ ... x_n⁰} обозначим через М₂, при этом f(M₁) >=f(M₂).

Проведем такую минимизацию целевой функции по переменным x₃, x₄, ... ,x_n. Дойдя до переменной x_n, снова возвратимся к x₁ и продолжим процесс. С помощью этой процедуры строим последовательность точек М₀,М₁,М₂, ... , которая соответствует монотонной последовательности значений функций f(M₀) >= f (M₁)>= f(M₂) >= ... Обрывая ее на некотором шаге k можно приблизительно принять значение функции f(M_k) за ее наименьшее значение в рассмотренной области.

Данный метод сводит задачу поиска наименьшего значения функции нескольких переменных к многократному решению одномерных задач оптимизации. Если целевая функция f(x₁, x₂, ... ,x_n) задана явной формулой и является дифференцируемой (как функции критериев приведённых или капитализированных затрат), можно вычислить ее частные производные и использовать их для определения направления спадания функции по каждой переменной и поиска соответствующих одномерных минимумов.

На рис.4.5 изображены линии уровня некоторой функции двух переменных u= f (х₁, х₂). Вдоль этих линий функция сохраняет постоянные значения. Показана траектория поиска ее наименьшего значения, которое достигается в точке О, с помощью метода покоординатного спуска. Пусть нужно решить задачу:

f(x) -->min,  х ÎRⁿ. (4.1)

В двухмерном пространстве R². Решение задачи (4.1) методом циклического покоординатного спуска выполняют по следующей общей схеме.

Рис.4.5 Поиск методом циклического покоординатного спуска

Произвольно избирают начальную точку х⁽⁰⁾ из области определения функции f(х). Приближение х^(k) определяют соотношениями (4.2.):

x^(k+1)=x^(k)+t^(k)S^(k) (k=0,1,2, ...), (4.2)

где вектор направления спуска s^(k) - это единичный вектор, совпадающий с любым координатным направлением (например, если S^(k) параллелен х₁, то S^(k)= {1,0,0,...,0}, если он параллельный оси x₂, то S^(k)={0, 1, 0, ... ,0} и т.д.); величина t^(k) является решением задачи одномерной минимизации:

f(x^(k)+ts^(k)) -->  min, t ÎR¹, (k=0,1,2, ...), (4.3)

и может определяться, в частности, методом сканирования.

Детальная реализация общей схемы в двухмерном случае R² дает траектории приближения к точке х* методом покоординатного спуска, который состоит из частей ломаной (рис.5), соединяющей точки х^(k), х~^(k), x^(k+1) (k=0, 1, 2,). При k=0, исходя из начальной точки х⁽⁰⁾ =(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾), находят точку х~⁽⁰⁾ = (x₁~⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾), минимума функции одной переменной f(x₁,x₂⁽⁰⁾); при этом f(x~⁽⁰⁾)<=f(x⁽⁰⁾).Потом находят точку минимума x⁽¹⁾ функции f(x₁~⁽⁰⁾,x₂) по другой координате. Дальше делают следующий шаг вычислений при k=1. Начальной точкой расчета является х⁽¹⁾. Фиксируя вторую координату точки  х⁽¹⁾, находят точку минимума х~⁽¹⁾ = (x₁~⁽¹⁾,x₂⁽¹⁾), функции f(x₁,x₂⁽¹⁾) одной переменной x⁽¹⁾; при этом f(x~⁽¹⁾)<=f(x⁽¹⁾)<=f(x⁽⁰⁾). Точку х⁽²⁾ получают, минимизируя целевую функцию f(x₁~⁽¹⁾,x₂),снова по координате х₂, фиксируя координату x₁~⁽¹⁾, точки x⁽¹⁾ , и т.д.

Условием прекращения вычислительной процедуры при достижении заданной точности e может служить неравенство

||x^(k+1) - x^(k) ||<e . (4.4)