2.3 Основные уравнения расчетной математической модели трансформатора.

Математическая модель (ММ) основывается на известных из теории трансформаторов [1,2,3] уравнениях, устанавливающих зависимости между его технико-экономическими параметрами, геометрическими размерами и характеристиками. Совокупность этих уравнений, дополненная соотношениями, описывающими в математической форме конструктивные и энергетические особенности компонентов трансформатора, позволяет представить математическое описание всех основных свойств трансформатора, соответствующих его назначению и отражающих его функционирование. Методика решения этой системы уравнений и положена в основу расчета варианта трансформатора.

В системе уравнений используются следующие зависимости:

1. Уравнение мощности трансформатора

(2.29)

где – номинальная мощность трансформатора, кВ·А;

–фазное напряжение одной из обмоток, В;

–фазный ток этой же обмотки, А.

2. Формула ЭДС обмотки трансформатора. Пренебрегая падением напряжения в обмотках в режиме номинальной нагрузки, ЭДС обмотки (В) можно выразить следующим образом:

(2.30)

Здесь – число витков обмотки;

–частота тока в сети, Гц;

остальные обозначения приведены в 2.1.1.

3. Уравнение напряжения рассеяния пары обмоток (рис. 2.5), %:

(2.31)

где – средний диаметр канала рассеяния между первичной и вторичной обмотками, мм;

–средняя высота обмоток, мм;

–коэффициент Роговского,

(2.32)

- приведенная ширина канала рассеяния, мм;

Для трансформаторов с Ц.С. обмотками определяется из выражения:

, (2.33)

,

- суммарная ширина вертикальных охлаждающих каналов между концентрами в обмотках (2.1.2), (2.1.4), мм;

- число витков, участвующих в создании потока рассеяния в вертикальных охлаждающих каналах.

Величина в зависимости от схемы размещения концентров, изолирующих цилиндров и каналов обмотки ВН и НН (рис. 2.5), выбирается по таблице (2.15).

Таблица 2.15. Формулы для при различных схемах размещения концентров ЦС обмоток

№ схемы	1	2

Величина U_s может быть выражена через напряжение короткого замыкания (U_k, %):

(2.34)

Здесь U_а - активная составляющая напряжения короткого замыкания трансформатора, соответствующая потерям в обмотках трансформатора при номинальной нагрузке, %.

4. Уравнение средней тепловой нагрузки обмоток (Вт/м²):

, (2.35)

где - суммарные потери в обмотках НН и ВН, Вт;

- суммарная поверхность охлаждения обмоток (концентров) трансформатора, м²;

Для достаточно полного математического описания свойств реального трансформатора зависимости (2.29)÷(2.35) дополняются известными формулами для определения массы активных материалов обмоток и МС, а также соотношениями, связывающими ряд расчетных коэффициентов с размерами и параметрами трансформатора.

Из (2.29)÷(2.35) формируется четыре нелинейных алгебраических уравнения, которые положены в основу ММ трансформатора.

Поскольку размеры и другие параметры и характеристики трансформатора взаимосвязаны, то, выражая одни переменные через другие, можно выбирать в качестве переменных различные параметры, что имеет место в ряде опубликованных методов проектирования трансформаторов. Так, например, в качестве основных переменных используется диаметр стержня D, размеры обмоток, потери и, средняя плотность тока в обмотка δ_m, индукция в МС, В_с и т.д. Поскольку переменные ММ должны отражать наиболее существенные параметры и свойства трансформатора, то в качестве переменных выбраны главные размеры МС (рис. 2.5) – D, F, H, индукция в стержне МС – В_с, средняя плотность тока в обмотках – δ_m, отношение потерь короткого замыкания и холостого хода – ξ, отношение стоимостей системы обмоток и МС – х.

Число переменных в системе уравнений N_п обычно больше числа уравнений (N_у) и для возможности получения решения, её нужно привести к нормальной системе, а для этого некоторым переменным необходимо придать определённые числовые значения, т.е. считать их независимыми управляемыми переменными (УП). Оставшиеся переменные (их число должно быть равно числу уравнений) будет удовлетворять нормальной системе уравнений, решив которую можно определить значения этих переменных. Выбор УП оказывает существенное влияние на процесс синтеза и оптимизации трансформатора. Этот процесс наиболее эффективен, когда УП отвечают следующим требованиям.

1. Каждому набору значений УП при заданных технических условиях соответствует только один расчетный вариант.

2. Оптимизируемая функция должна быть пологой в области экстремума по УП.

3. Обеспечивается возможность определения зоны оптимальных значений некоторых УП еще до проектирования трансформатора, на основе критерия оптимальности и исходных данных.

Этим требованиям в достаточной мере отвечают наборы таких УП как В_с, х, ξ, либо В_с, D, δ_m.

Действительно для трансформаторов до 10 МВА с МС из современных холоднокатаных. сталей зона оптимальных значений индукции в МС составляет 1,65 ÷ 1,75 Тл. Оптимальные значения величины х находятся в пределах 0,55 ÷ 0,8, а значения ξ в пределах 5-8. Зоны оптимальных значений ξ_э, D, δ_m могут быть определены по соответствующим оптимизирующим соотношениям или численным анализом.

Рассмотренная система основных уравнений трансформатора нелинейна и решить её, т.е. определить с необходимой точностью значения соответствующих переменных для заданного набора УП, исходных данных и технических требований можно только одним из численных методов.

Одним из эффективных методов решения таких систем является итерационный метод. Решение системы уравнений трансформатора усложняется тем, что необходим учет конструктивных и технологических коэффициентов, рассмотренных в разделе 2.1. Эти коэффициенты связаны с реальными конструктивными компонентами трансформатора и для каждого конструктивного исполнения обмоток, МС и марки электротехнической стали имеют вполне определенные значения, которые практически не изменяются для возможных расчетных вариантов. Это обстоятельство позволяет принимать значения расчетных коэффициентов постоянными при решении системы уравнений, а при необходимости, уточнять их после сходимости итерационного процесса по основным переменным и вновь уточнять решение при новых значениях расчетных коэффициентов. Математическое представление задачи проектирования трансформатора с заданными характеристиками в виде системы уравнений, связывающих эти характеристики с размерами и другими параметрами трансформатора, позволяет обеспечить соответствие рассчитываемых вариантов заданным техническим требованиям, либо определить несовместимость этих требований и необходимость их корректировки.

Исходя из рассмотренных положений, для решения системы уравнений ММ трансформатора и определения значений переменных и других параметров расчетного варианта трансформатора используется метод простых итераций, алгоритм которого и расчетные формулы приведены в следующем разделе.