- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения
- •1.1. Принятие решений как особый вид человеческой деятельности
- •1.2. Люди принимающие решения и их роль в процессе принятия решений
- •1.3. Альтернативы
- •1.4. Критерии
- •1.5. Оценка важности критериев
- •1.6. Многодисциплинарный характер науки о принятии решений
- •2. Анализ задач и методов принятия решений
- •2.1. Схема процесса принятия решений
- •Принятие решения Отыскание рациональных альтернатив
- •Разработка плана и реализация принятого решения Оценка фактически достигнутых результатов
- •2.2. Классификация задач принятия решений
- •2.3. Классификация методов принятия решений
- •2.4. Системы поддержки принятия решений
- •3. Оптимизационные модели
- •3.1 Оптимизационная модель затрат на рекламу .
- •3.2. Выбор оптимального медиа-плана кампании
- •Решение.
- •3.3. Оптимизационные модели составления медиа-плана в случае нескольких критериев (целевое программирование).
- •3.4. Построение кривой достижимости охвата по различным категориям телеаудитории (Парето-оптимальный подход).
- •4. Динамическое программирование
- •4.1. Основная идея и особенности вычислительного метода динамического программирования
- •4.2. Задачи управления запасами
- •4.2.1. Общая характеристика
- •4.2.2. Задача управления запасами при детерминированном
- •4.2.3. Задача управления многономенклатурными запасами при ограничении на емкость склада
- •4.2.4. Модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках
- •4.2.5. Динамические задачи управления запасами
- •5. Принятие решений в условиях неопределенности. Метод анализа иерархий.
- •5.1. Иерархическое представление проблемы
- •5.1.1. Структуризация задачи в виде иерархии
- •5.1.2. Парное сравнение альтернатив (метод парных сравнений)
- •5.1.3 Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня
- •5.1.4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив (иерархический синтез)
- •2.2. Метод сравнения объектов относительно стандартов [2]
- •5.3. Многокритериальный выбор в иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями [2]
- •5.4. Общая характеристика подхода метода анализа иерархий
- •6. Элементы теории матричных игр.
- •6.1. Игровой подход к принятию решений в условиях неопределённости.
- •6.2. Основные понятия теории игр.
- •6.3. Сведения матричной игры к задаче линейного программирования [2, 3]
- •6.4. Матричная игра двух лиц с ненулевой постоянной суммой [1]
- •Вопрос 1. Нижняя цена матричной игры определяетсяследующей формулой:
- •Вопрос 2. Верхняя цена матричной игры определяетсяследующей формулой:
- •Вопрос 4. Какова нижняя и верхняя цена игры для нижеприведенной матрицы?
- •Вопрос 5. Чему равно значение элемента матрицы игры в сед-ловой точке?
- •Вопрос 6. Используя свойство доминирования стратегий игроков, максимально редуцируйте следующую матрицу игры:
- •Вопрос 7. Найдите цену следующей игры
- •Вопрос 10. Постройте платежную матрицу следующей игры.
- •7. Теория массового обслуживания
- •3. Марковские смо.
6.3. Сведения матричной игры к задаче линейного программирования [2, 3]
Если седловая точка отсутствует, то общим методом решения игры любой (конечной) размерности является сведение игры двух лиц с нулевой суммой к задаче линейного программирования. Из основного положения теории стратегических игр следует, что при использовании смешанных стратегий существует по меньшей мере одно оптимальное решение с ценой игры v, причем, , т.е. цена игры находится между нижним и верхним значениями игры. Величина v неизвестна, но можно предположить, что v > 0. Это условие выполняется, поскольку путем преобразования матрицы всегда можно сделать все ее элементы положительными. Таким образом, если в исходной платежной матрице имеется хотя бы один неположительный элемент, то первым шагом в процедуре сведения игры к задаче линейного программирования должно быть ее преобразование в матрицу, все элементы которой строго положительны. Для этого достаточно увеличить все элементы исходной матрицы на одно и то же число , где. При таком преобразовании матрицы оптимальные стратегии игроков не изменяются.
Допустим, что смешанная стратегия игрока 1 складывается из стратегий A1,A2,…,Am с вероятностями соответственно х1, х2,…,хm (). Оптимальная смешанная стратегия игрока 2 складывается из стратегий B1, B2,…,Bn с вероятностями y1,y2,…,yn
Условия игры определяются платежной матрицей
.
Если игрок 1 применяет оптимальную смешанную стратегию, а игрок 2 — чистую стратегию Bj, то средний выигрыш игрока 1 (математическое ожидание выигрыша) составит х1a1j + х2a2j+…+xmamj , j=1,…,n.
Игрок 1 стремится к тому, чтобы при любой стратегии игрока 2 его выигрыш был не менее чем цена игры v (смотри (3.1)) и сама цена игры была максимальной. Такое поведение игрока 1 описывается следующей моделью линейного программирования:
(игрок 1 стремится максимизировать свой выигрыш),
х1a11 + х2a21+…+xmaь1v
х1a12 + х2a22+…+xmam2v
х1a1n + х2a2n+…+xmamnv,
Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v (v >0) и обозначим ti =xi . Из условия х1 + х2+…+xm =1 следует, что t1 + t2+…+tm =1/v . В результате получаем следующую задачу линейного программирования:
t1 + t2+…+tm min
t1a11 + t2a21+…+tmaь11
t1a12 + t2a22+…+tmam21 (3.3)
t1a1n + t2a2n+…+tmamn1
ti 0, i=1,…,m.
Поведению игрока 2 соответствует двойственная задача:
u1 + u2+…+un max (эквивалентно v min: игрок 2 стремится минимизироиать свой средний проигрыш)
a11u1+a12u2+…+a1nun1
a21u1+a22u2+…+a2nun1 (3.4)
am1u1+am2u2+…+amnun1,
где uj 0, j=1,…,n
Таким образом, для решения игры имеем пару симметричных двойственных задач линейного программирования. Используя свойство симметричности, можно решить одну из них, а решение второй задачи найти на основании оптимального плана двойственной к ней задачи.
Задача (3.3) всегда имеет решение. Получив ее оптимальное решение t1*, t2*,…, tm*, можно найти цену игры v*=1/( t1*+ t2*+…+ tm ), оптимальные значения x1*, x2*,…, xm (xi*= ti*v*) и, следовательно, оптимальную стратегию игрока 1. Оптимальную стратегию игрока 2 находим по формуле yi*= ui*v* .
Если исходная матрица увеличивалась на d, то для получения цены первоначальной игры v* нужно уменьшить на d.