4.2. Задачи управления запасами

4.2.1. Общая характеристика

Задачи управления запасами составляют один из наиболее распространенных классов задач исследования операций, решение которых имеет важное хозяйственное значение. Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов дает возможность высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что (в конечном счете) повышает эффективность используемых ресурсов. Существует большое количество разных моделей задач управления запасами.

Приведем основные характеристики моделей этих задач (18).

Элементами задачи (системы) управления запасами являются:

система снабжения;

спрос на предметы снабжения;

возможность пополнения запасов;

функции затрат;

ограничения;

принятая стратегия управления запасами.

Рассмотрим подробнее каждый из этих элементов.

Системы снабжения бывают: децентрализованные (однокаскадные) и централизованные (многокаскадные).

Спрос на предметы снабжения делится на стационарный или нестационарный, детерминированный или случайный.

Различают такие способы пополнения запасов: мгновенная поставка; поставка с задержкой на фиксированный временной интервал; поставка с задержкой на случайный интервал.

Функция затрат составляет в совокупности критерий эффективности избранной стратегии управления и учитывает (в общем случае) расходы на хранение, стоимость поставок, затраты на заказ каждой новой поставки, штрафы за дефицит.

Приведем возможные варианты этих

составных.

Расходы на хранение бывают: пропорциональные среднему уровню положительного запаса за период времени его существования; пропорциональные остатку запаса к концу периода; нелинейная функция среднего уровня запасов и интервала существования положительного запаса.

Стоимость поставки бывает: пропорциональной объему поставки, постоянной, пропорциональной числу типов поставляемых запасов.

Штрафы вследствие дефицита бывают такие: пропорциональные средней положительной недостаче (дефициту) за период; пропорциональные положительной недостаче к концу периода; постоянные, нелинейные функции от среднего уровня дефицита и продолжительности его существования.

Ограничение в задачи управления запасами вводятся на: максимальный объем запасов; максимальный вес; максимальную стоимость запасов; число поставок в заданный интервал времени; на стоимость поставки; на объем поставки; на вероятность дефицита.

Стратегия управления запасами должна минимизировать выбранную функцию затрат - критерий эффективности.

Рассмотрим некоторые типичные модели задач управления запасами.

4.2.2. Задача управления запасами при детерминированном

стационарном спросе и периодических поставках

Рассмотрим простейшую модель управления запасами с постоянной интенсивностью спроса и поставок. Поставки осуществляются периодически с периодом. График изменения запасов показан на рис. 7.8. Обозначим черезпредельный запас на складе, аY_g - максимальный дефицит.

Примем, что расходы на хранение (штрафы) пропорциональны среднему уровню запаса (дефицита) и интервалу времени его существования, а расходы на одну поставку фиксированы величиной .

Обозначим через удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени,- удельный штраф за дефицит единицы продукта в единицу времени. При этих предположениях общая функция расходов за период будет иметь следующий вид:

.                (7.3.1)

Как следует из рис. 7.8, текущий уровень запасов описывается так:

g

Максимальный дефицит Y_g выражается через (рис. 7.8)

g

.

Находим и, тогда

.                             (7.3.2)

Обозначив

,                                 (7.3.3)

получим

.                                (7.3.4)

Подставляя (7.3.4) в (7.3.2), получаем

g

(7.3.5)

Найдем выражение для функции затрат с учетом (7.3.4), (7.3.5):

g

 

 .                        (7.3.6)

Средние затраты в единицу времени равны

(7.3.7)

Нужно найти такие значения ,, для которых функцияминимальна. Для этого составляем и решаем систему уравнений

;                        (7.3.8)

.               (7.3.9)

Из (7.3.8) получим такое соотношение

.                         (7.3.10)

 Наконец, из (7.3.9) получим

.                        (7.3.11)

Подставляя в уравнение (7.3.11) выражение для из (7.3.10), после несложных преобразований получим

или (7.3.12)

Подставив в (7.3.12) выражение для a из (7.3.3) и поделив числитель и знаменатель на , получим окончательное выражение для оптимального предельного уровня запаса

;                          (7.3.13)

Подставив это выражение в (7.3.10), находим оптимальный период поставки

.                            (7.3.14)

При таких значениях ,достигается минимум средних расходов в единицу времени:

.                       (7.3.15)

Рассмотрим теперь частные случаи этой общей задачи:

1) недостаток запасов недопустим (см. рис. 7.9). Тогда положив и подставивв (7.3.13) - (7.3.15), получим

,                            (7.3.16)

(7.3.17)

,

                                      ;                           (7.3.18)

2) мгновенные поставки (рис. 7.10). Положив в (7.3.13) - (7.3.15) ,, получим

, ,                        

            Рис.7.10                                                      Рис.7.11

                                           ;                        (7.3.19)

в)дефицит не допускается, поставки мгновенные (рис. 7.11). Подставив ,,,в (7.3.13) - (7.3.15), получим

, ,.         (7.3.20)

Соотношение (7.3.20) называются формулами Уилсона, а величина в (7.3.20) -экономическим размером партии [49].