3.2. Выбор оптимального медиа-плана кампании

Пример 1. . Агентству необходимо составить оптимальную рекламную кампанию на телевидении для своего клиента. Клиент своей реклам­ной кампанией хочет достичь трех целей (перечислены в порядке убы­вания важности):

• цель 1: рекламу должны увидеть, по крайней мере, 65 млн. мужчин с высоким уровнем дохода (ВУМ);

• цель 2: рекламу должны увидеть, по крайней мере, 72 млн. женщин с высоким уровнем дохода (ВУЖ);

• цель 3: рекламу должны увидеть, по крайней мере, 70 млн. людей с низким уровнем дохода (НУЛ).

Агентство может купить время для показа рекламных роликов в не­скольких типах телепрограмм: в спортивных шоу, в развлекательных шоу, в новостях, во время показа комедийных фильмов, драм и во вре­мя показа сериалов. На рекламную кампанию не может быть потраче­но больше 700000 руб. Стоимости размещения рекламных роликов и охват потенциальной аудитории (в млн.человек) за одну минуту рек­ламного ролика в каждом типе телепрограмм представлены в табл. 4.

В рамках рекламной стратегии клиента требуется, чтобы, по край­ней мере, два рекламных ролика были размещены в спортивных шоу, в новостях и показах драм. Также обязательным является условие, чтобы в каждом из типов телепрограмм было размещено не больше десяти рекламных роликов. Целью работы Агентства является нахождение плана рекламной кампании, который удовлетворял бы всем целям клиента и требовал бы минимальных затрат.

Таблица 4. Стоимости и охваты аудиторий по типам программ

Тип телепрограммы	ВУМ	ВУЖ	НУЛ	Стоимость 1мин., руб.
Спортивные шоу	7	4	8	120000
Развлекательные шоу	3	5	6	40000
Новости	6	5	3	50000
Комедийные шоу	4	5	7	40000
Драма	6	8	6	60000
Сериалы	3	4	5	40000

Решение.

Построим математическую модель задачи. В данном случае в каче­стве переменных рассмотрим количество рекламных ро­ликов в каждом виде телепрограмм. Эти переменные обозначим соот­ветственно как x_1, x ₂ ,x ₃ ,x ₄, x _{5 ,} x ₆. Таким образом, математическая модель задачи имеет следующий вид:

Целевая функция – затраты, которые необходимо минимизировать:

= 120000x₁ +40000 x ₂ +50000x ₃ + 40000x ₄ +40000x ₅ +40000x ₆.

Ограничения:

на бюджет

120000x₁ +40000 x₂ +50000x₃ + 40000x₄ +40000x₅ +40000x₆ 700000

цели рекламной кампании(данные в млн.чел.)

7x₁ +3x₂ +6x₃ +4x₄+6x₅ +3x₆ 65

4x₁ +5x₂ +5x₃ +5x₄+8x₅ +4x₆ 72,

8x₁ +6x₂ +3x₃ +7x₄+6x₅ +5x₆ 70,

ограничения на количество рекламных роликов:

x₁ 2

x₃ 2

x₅ 2

x₁, x₂, x₃, x_4, x₅, x₆ 10

x₁, x₂, x₃, x_4, x₅, x₆ 0

Для решения задачи воспользуемся надстройкой EXCEL Поиск решения.

Поиск решения – это надстройка Excel, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду Сервис  Надстройки и активизируйте надстройку Поиск решения. Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то вам необходимо обратиться к панели управления Windows, щелкнуть на пиктограмме Установка и удаление программ и с помощью программы установки Excel (или Office) установить надстройку Поиск решения.

После выбора команд Сервис  Поиск решения появится диалоговое окно Поиск решения.

В диалоговом окне Поиск решения есть три основных параметра:

• Установить целевую ячейку.

• Изменяя ячейки.

• Ограничения.

Сначала нужно заполнить поле Установить целевую ячейку. Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или установить конкретное значение.

Второй важный параметр средства Поиск решения — это параметр Изменяя ячейки. Здесь указываются ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К этим ячейкам предъявляется два основных требования: они не должны содержать формул, и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависит от изменяемых ячеек.

Третий параметр, который нужно вводить на вкладке Поиск решения – это ограничения.

Для решения задачи необходимо:

1. Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

2. Ввести исходные данные.

3. Ввести зависимость для целевой функции

4. Ввести зависимости для ограничений.

5. Запустить команду Поиск решений.

6. Назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку).

7. Ввести ограничения.

8. Ввести параметры для решения ЗЛП.

Рассмотрим технологию решения, используя условия Примера 1.

1. Входные данные. Входные данные — это числовые данные, которые используются для формирования целевой функции и ограничений. В данной модели входными данными являются стоимости размещения рекламных роликов и охват потенциальной аудитории (в млн. человек) за 1 мин. рекламного ролика в каждом типе телепрограмм, цели реклам­ной кампании, бюджет, минимальные и максимальные ограничения на количество рекламных роликов в каждом типе телепрограмм.

Входные данныеразмещаемвячейкахВ3-G8, I3-I6 (рис.1).

Рис. 1. Введены исходные данные.

2. Изменяемые ячейки. Количество рекламных роликов в каждом типе телепрограмм является искомым значением и помещается в изменяемые ячейки. Изменяемые ячейки играют роль переменных. Значения в этих ячейках изменяются таким образом, чтобы получить оптимальное значение целевой функции при заданных ограничениях. Изменяемые ячейки — B2:G2.

3. Целевая ячейка. Целевая ячейка H3 содержит значение целевой функции. В данной модели это совокупные затраты на рекламную кампа­нию, которые рассчитываются как сумма произведений соответству­ющих стоимостей размещения рекламных роликов на размещаемое количество: =СУММПРОИЗВ( $B$2:$G$2, B3:G3 ).

4. Охваченная аудитория. Для подсчета числа людей (в млн.) каждой группы, просмотревших рекламные ролики, нужно умножить век­ тор охвата потенциальной аудитории из каждой группы на вектор количества рекламных роликов: =СУММПРОИЗВ ($B$2:$G$2, B4:G4 ).Полученные данные помещены в ячейку H4. Для этого надо скопировать формулу H3 в H4 с изменением соответствующих ячеек. Для оставшихся групп нужно скопировать данную формулу с изменением соответствующих ячеек (в ячейки H5 и H6).

Использование Поиска решения.

Поясним смысл элементов окна на примере нашей задачи.

Установить целевую ячейку - определяет целевую ячейку, значение которой необходимо максимизировать или минимизировать, или сделать равным конкретному значению.

• Поместите курсор в строку Установить целевую ячейку. Сюда необходимо внести адрес ячейки, содержащей целевую функцию.

• Введите адрес ячейки $Н$3. Для того чтобы сделать это щелкните мышью на той ячейке рабочего листа, где содержится целевая функция - H3. Вокруг H3 появился движущийся пунктирный контур, а в поле окна - соответствующий адрес. Следует отметить, что подобным способом можно вносить все остальные необходимые данные, это удобнее, чем вводить их с клавиатуры.

• Введите тип целевой функции в зависимости от условия вашей задачи. Для этого отметьте, чему равна целевая функция – Максимальному значению или Минимальному значению.

Изменяя ячейки - определяет изменяемые ячейки. Изменяемая ячейка- это ячейка, которая может быть изменена в процессе Поиска Решения для достижения нужного результата. Допускается задание до 200 изменяемых ячеек.

• Поместите курсор в строку Изменяя ячейки.

• Введите адреса искомых переменных $B$2:$G$2 (рис. 3).

Предположить- отыскивает все неформульные ячейки, прямо или непрямо зависящие от формулы в окне Установить целевую ячейку, и помещает их ссылки в окно Изменяя ячейки.

Ограничения - перечисляет текущие ограничения в данной задаче.

Добавить - выводит окно диалога “Добавить ограничение”, в котором можно добавить ограничения к текущей проблеме.

Изменить- выводит окно диалога “Изменить ограничение”, в котором можно модифицировать имеющиеся ограничения.

Удалить- удалить выделенное ограничение.

Введите ограничения.

• Поместите указатель мыши на кнопку Добавить. Появляется диалоговое окно Добавление ограничения.

На экране появилось окно "Добавление ограничения" (рис. 2) Excel воспринимает ограничения в виде ссылок на ячейки, в которых содержатся соответствующие формулы, при этом левая часть ограничения представляет собой, как правило, ссылку на формулу, а правая - значение: число или ссылку на ячейку, содержащую значение. Адреса ячеек должны содержать символ $. Если определяется интервал ячеек, то он должен быть той же формы и тех же размеров, что и интервал в окне Ссылка на ячейку.

Рис. 2.

Ссылка на ячейку - определяет ячейку или интервал ячеек, чьи значения необходимо ограничить.

Ограничение - определяет условие, налагаемое на содержимое окна Ссылка на ячейку. Выберите из списка отношение, которое нужно установить между ячейкой или интервалом и ограничением, которое нужно ввести в окне справа от списка. Можно выбрать <=, =, >=, или "цел". Если Вы выбрали "цел" для указания на то. что переменная должна быть целочисленной, то слово "Целое" появляется в окне справа от списка.

Рис. 3. Заполнение меню Поиска решения.

Ввести параметры для решения задачи линейного программирования.

• В диалоговом окне указатель мышки на кнопку Параметры. На экране появляется диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 4).

Рис. 4. Ввод параметров

С помощью команд, находящихся в этом окне можно вводить условия для решения задач оптимизации всех классов. Позволяет контролировать различные аспекты процесса отыскания решения, загрузить или сохранить такие параметры, как ссылки на ячейку и ограничения для конкретной проблемы на рабочем листе. Можно определять параметры для линейных и нелинейных задач. Каждый из параметров в окне диалога имеет значение по умолчанию, подходящий для большинства проблем.

Поясним элементы окна Параметры поиска решения.

Максимальное время - ограничивает время, требующееся для процесса отыскания решения. Это значение должно быть положительным целым числом. Значение по умолчанию равно 100 (секунд), что вполне годится для большинства малых задач, хотя Вы можете ввести любое значение до 32767.

Предельное число итераций - ограничивает время, требующееся для процесса отыскания решения, путем ограничения числа промежуточных вычислений. Это значение должно быть положительным целым числом до 32767.

Относительная погрешность - контролирует точность ответов, получаемых при поиске решений. Число, вводимое в это поле:

• используется при определении того, удовлетворяет ли значение ячейки ограничения нужному равенству или находится ли оно в указанных границах.

• должно быть дробным числом от 0 до 1 (не включая концы).

• имеет значение по умолчанию равно 0,000001.

указывает на меньшую точность, если число введено с меньшим количеством десятичных знаков; например, 0,0001.

Вообще говоря, чем большая точность определяется (чем меньше число), тем больше времени понадобится для поиска решения. Методы, используемые Поиском Решения, позволяют существенно ускорить поиск, если установить исходное значение, достаточно близкое к искомому решению.

Допустимое отклонение - проблемы, связанные с изменяемыми ячейками, которые должны содержать целые значения. Можно подобрать величину отклонения, которая представляет процент допустимого отклонения от оптимального решения при целочисленных ограничениях для всех элементов задачи. Чем выше отклонение (допустимое отклонение в процентах), тем быстрее процесс решения. Установка отклонения не играет роли, если не введены целочисленные ограничения.

Линейная модель - ускоряет процесс отыскания решения. Команда может быть использована только, если все связи в модели линейны.

Показать результаты итераций - прерывает Поиск Решения и показывает результаты после каждой итерации.

Автоматический масштаб - включает автоматический масштаб. Это полезно, когда параметры ввода (Изменяя ячейки) и вывода (Установить целевую ячейку и Ограничения) сильно различаются по величине; например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.

Оценки - эти флажки определяют подход, используемый для получения исходных оценок основных переменных в каждом одномерном поиске.

• Линейная - использует линейную экстраполяцию вдоль касательного вектора.

• Квадратичная - использует квадратичную экстраполяцию; это дает лучшие результаты для нелинейных проблем.

Разности- параметры этой группы определяют способ вычисления производной при оценке частных производных целевых и ограничивающих функций. Эти варианты существенно отличаются своим действием на функциях, чье графическое представление недостаточно гладко или непрерывно. Для таких функций следует использовать вариант Центральная.

• прямые - такой способ дифференцирования установлен по умолчанию.

• центральные - этот способ требует больше вычислений на рабочем листе, но он может помочь в тех случаях, когда Вы получаете сообщение о том, что Поиск Решений не может улучшить решение.

Метод поиска - параметры этой группы определяют, какой алгоритм поиска используется при каждой итерации для направления поиска. Нужно указать либо метод Ньютона, либо метод сопряженного градиента.

• метод Ньютона- это метод поиска по умолчанию. Этот метод обычно требует больше памяти, чем метод сопряженного градиента, но меньшее количество итераций.

• метод сопряженного градиента - поиск методом сопряженного градиента требует меньше памяти, чем ньютоновский метод, но обычно большее число итераций для достижения конкретного уровня точности. Если проблема достаточно велика и важно экономное использование памяти, то стоит применить этот метод.

Загрузить модель - выводит окно диалога "Загрузить Модель", в котором можно указать, какую именно модель нужно загрузить.

Сохранить модель - выводит окно диалога "Сохранить Модель", в котором можно указать, где именно нужно сохранить данную модель. Используйте кнопку Сохранить модель только в том случае, если нужно сохранить более, чем одну модель Поиска Решения вместе с данным рабочим листом. Первая модель Поиска Решений автоматически сохраняется вместе с рабочим листом.

• Установите флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода) и Неотрицательные значения.

• Поместите указатель мыши на кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения.

• Поместите указатель мыши на кнопку Выполнить.

Выполнить- запускает процесс решения определенной проблемы.

После нажатия на кнопку Выполнить обнаружилось, что не суще­ствует решения, которое удовлетворяло бы всем требованиям в модели. Это означает, что невозможно достичь всех целей клиента в рамках существующего бюджета.

Для того чтобы увидеть, каким должен быть бюджет, позволяющий достичь всех целей, нужно изменить исходную модель, удалив из неё ограничение на бюджет $G$3<=$I$3 или поставив в $I$3 заведомо достаточный объём затрат на рекламу. Поставив в $I$3 значение 800000 и выполнив вычисления, видим, что все цели могут быть достигнуты при затратах в 750769 рублей. Однако при этом количество рекламных роликов будет не целым числом, x=(2, 0, 2, 2.307692, 5.307692, 0).Считая это невыполнимым, добавим в ограничения условие целочисленности переменных x_i.

Ответ

Выполнив вычисления, получаем план х = (2,1,2,1,5,1); затраты на рекламную компанию при этом составят 760000 рублей.

Таким образом, все поставленные цели рекламной компании могут быть достигнуты при затратах на неё не менее чем 760000 рублей. Если такие затраты по тем или иным причинам недопустимы, то необходимо далее определить, как близко компания может подойти к выполнению целей клиента при ограниченном бюджете.

Пред­варительно введем некоторые понятия в данной модели.

• Жесткие ограничения — верхние и нижние ограничения на коли­чество рекламных роликов в каждом виде телепрограмм. Эти требования не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах.

• Нежесткие ограничения — требования на число человек, посмо­тревших рекламные ролики. Конечно, клиент хочет, чтобы эти цели тоже были достигнуты, но ему придется смириться с тем, что они могут быть достигнуты лишь отчасти в связи с ограниченным бюджетом.

Далее мы попробуем достичь сначала цели с выс­шим уровнем важности (в данной модели — количество зрителей из ВУ М). Затем пытаемся достичь целей с более низким уровнем важно­сти (ВУЖ, затем НУЛ). Таким образом, исходная задача трансформируется в задачу многокритериальной оптимизации.