- •Часть 2. Определенный интеграл
- •1. Формула Ньютона – Лейбница
- •2. Замена переменных в определенном интеграле
- •3. Формула интегрирования по частям
- •4. Среднее значение функции
- •5. Несобственные интегралы
- •5. 1. Интегралы с бесконечными пределами
- •5.2. Интегралы от функций с бесконечными разрывами
- •6. Геометрические и физические приложения определенного интеграла
- •6.1. Вычисление площади криволинейной трапеции
- •6.2. Вычисление объема вращения
- •6.3. Вычисление длины дуги кривой
- •6.4. Вычисление площади поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •1. Найти неопредёленный интеграл:
- •5. Найти неопределённый интеграл:
- •6. Найти неопределённый интеграл:
- •7. Найти неопределённый интеграл:
- •8. Найти неопределённый интеграл:
- •9. Найти неопределённый интеграл:
- •10. Найти неопределённый интеграл:
- •Литература
- •Содержание
- •Часть 1. Неопределённый интеграл………………………………………......3
- •Часть 2. Определённый интеграл…………………………….………………49
- •Учебное издание Александр Борисович Дюбуа Светлана Николаевна Машнина
Часть 2. Определенный интеграл
1. Формула Ньютона – Лейбница
Для вычисления определенного интеграла основной является теорема Ньютона – Лейбница: если непрерывна на и первообразная для на , то .
Примеры:
1.1. Вычислить определенный интеграл
.
Вычислить определенный интеграл
Применим табличный интеграл:
.
1.3. Вычислить определенный интеграл
.
Вычислить определенный интеграл
Применяя соотношения между тригонометрическими функциями, получаем
2. Замена переменных в определенном интеграле
Формула
справедлива при следующих условиях:
Функция непрерывна на отрезке ;
Отрезок является множеством значений функции , определенной на отрезке ;
; .
Примеры:
2.1. Вычислить определенный интеграл
Применим метод интегрирования замены переменной. Пусть , тогда . Найдём новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то . С учётом замены, получаем:
.◄
2.2. Вычислить определенный интеграл .
Применим метод интегрирования замены переменной. Пусть . Тогда , , . Найдём новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .
Тогда интеграл примет вид:
.◄
2.3. Вычислить определенный интеграл
Применим метод интегрирования замены переменной. Пусть , тогда . Найдём новые пределы интегрирования. Найдём новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .
С учётом введения новой переменной первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.4. Вычислить определенный интеграл .
Применим метод интегрирования замены переменной. Пусть , тогда , . Найдём новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .
Тогда исходный интеграл примет вид:
.◄
2.5. Вычислить определенный интеграл:
Сделаем замену переменных . Тогда , . При этой замене пределы интегрирования не изменятся. Тогда получим
2.6. Вычислить определенный интеграл:
Применим универсальную тригонометрическую подстановку , тогда , а пределами интегрирования будут и . Получим
2.7. Вычислить определенный интеграл:
Применим тригонометрическую подстановку . Тогда , пределы интегрирования и . Тогда
.
3. Формула интегрирования по частям
Если каждая из функций и имеет на отрезке непрерывную производную, то справедлива следующая формула
.
Примеры:
3.1. Вычислить определенный интеграл: .
Так как подынтегральная функция чётная, то исходный интеграл примет вид:
.
Применим метод интегрирования по частям:
.
Пусть ; тогда .
Тогда первоначальный интеграл примет вид:
.
Применим ещё раз метод интегрирования по частям:
Пусть ; тогда . Получаем:
.
Получили равенство: .
Тогда: .
Откуда: .◄
3.2. Вычислить определенный интеграл: .
Применим метод интегрирования по частям. Пусть . Тогда .
Первоначальный интеграл примет вид:
.◄
3.3. Вычислить определенный интеграл:
Применим метод интегрирования по частям. Пусть
.
Тогда
, .
Первоначальный интеграл примет вид:
.◄
3.4. Вычислить определенный интеграл:
Применим метод интегрирования по частям. Пусть
.
Тогда
.
Получим:
.◄
3.5. Вычислить определенный интеграл:
Подынтегральная функция нечётная относительно синуса и косинуса. Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
Пределы интегрирования:
.
С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:
.
Теперь применим метод интегрирования по частям.
Пусть . Тогда .
Получим:
.◄