2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2

2.1.

2.2.

2.3.

2.4. Доказать, что для равенства нулю определителя второго порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны. То же верно и для столбцов (если некоторые элементы определителя равны нулю, то пропорциональность можно понимать в том смысле, что элементы одной строки получаются из соответствующих элементов другой строки умножением на одно и то же число, быть может, равное нулю).

2.5.

2.6. Показать, что значение дроби , где по крайней мере одно из чиселсилиdотлично от нуля, тогда и только тогда не зависит от значениях, когда

2.7. Найти наибольшее значение, которое может принимать определитель 3-го порядка, при условии, что все его элементы равны 1 или (-1).

2.8. Найти наибольшее значение, которое может принимать определитель 3-го порядка, при условии, что все его элементы равны 1 или 0.

2.9. Доказать, что от любой перестановки чисел 1,2,…,n, содержащейkинверсий, можно перейти к исходному положению путемkсмежных транспозиций, но нельзя перейти путем меньшего числа таких транспозиций.

2.10. Выбрать значения i и k так, чтобы произведениевходило в определитель 6-го порядка со знаком минус.

2.11. Вычислить определитель

,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

2.12. Решить уравнение

2.13. Доказать, что определитель не изменится, если к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец.

2.14. Разлагая по 3-ей строке, вычислить определитель

2.15. Вычислить определитель

Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)

3.1 Обратная матрица

Пусть задана квадратная матрица порядкаn.

Определение.Квадратная матрицаА^-1порядкаnназывается обратной к матрицеА, если она удовлетворяет соотношению

(3.1.1)

Присоединенной матрицей квадратной матрицы Аназывается матрицаА*, каждый элементкоторой есть алгебраическое дополнение элементатранспонированной матрицыА, т.е.

.

Квадратная матрица Аназывается невырожденной (неособенной), если ее определитель |A| отличен от нуля, и вырожденной, если |A|=0.

Теорема.Для всякой невырожденной матрицыАсуществует единственная обратная матрицаА^-1, определяемая следующим выражением:

(3.1.2)

Доказательство.Докажем сначала единственность. Предположим, что существуют две различные обратные матрицыи. Тогда имеем

	(3.1.3)
	(3.1.4)

Из двух последних равенств следует, что =.

Покажем теперь, что выражение (3.1.2) действительно задает обратную матрицу. Составим произведение АА^*. Очевидно, что элементами данного произведения являются суммы произведений элементов строк матрицыАна алгебраические дополнения, т.е.. Как известно из гл.2, приi=j=0. В итоге получаем

,

или ,

откуда .

В заключение отметим, что А^*перестановочна сА, т.е., что видно непосредственно. Теорема доказана.

Пример.Вычислить обратную матрицу для матрицыА, равной:

.

Решение.. Вычислим присоединенную матрицуА^*:

А₁₁=-3,А₁₂=-1,А₂₁=-1,А₂₂=2,

;.

Проверкой убеждаемся, что АА^-1=Е.

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, т.е. |A^-1|=.

2. Произведение двух невырожденных матриц АиВявляется невырожденной матрицей и.

3. Если матрица Аневырожденная, то.

4. Обратная матрица к транспонированной является транспонированной матрицей к обратной, т.е. .