1.3 Задания для самостоятельной работы по главе 1

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5. , все элементы матрицы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

1.6.

1.7. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если:

а) переставить i-ую иj-ую строки матрицы А?

б) к i-ой строке матрицы А прибавитьj-ую строку, умноженную на число с?

в) переставить i-ый иj-ый столбцы матрицы В?

г) к i-му столбцу матрицы В прибавитьj-ый столбец, умноженный на число с?

1.8. Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Доказать, что след АВ равен следу ВА.

1.9. Доказать, что если А – диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, также диагональна.

1.10. Доказать, что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу вызывает умножение строк А соответственно на, а умножение А на В справа вызывает аналогичное изменение столбцов.

Глава 2. Определители

2.1. Перестановки и подстановки

Для определения и изучения определителей порядка n рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к конечным множествам.

Пусть дано некоторое конечное множество N, состоящее изnэлементов. Эти элементы пронумеруем с помощью первыхnнатуральных чисел 1, 2, …,n. Числа 1, 2, …,nможно помимо их естественного порядка упорядочить многими другими способами.

Определение.Всякое расположение чисел 1, 2,…,nв некотором определенном порядке называется перестановкой изnчисел (символов).

Число различных перестановок из n символов равно произведению(читаетсяn– факториал). Если в некоторой перестановке поменять местами какие-либо два символа, не обязательно стоящие рядом, а все остальные символы оставить на месте, то получим новую перестановку. Такое преобразование называется транспозицией.

Пусть ,, …,– некоторая перестановка чисел 1, 2,…,n. Говорят, что в данной перестановке числаиобразуют инверсию (беспорядок), если>иi<j. Общее число инверсий в перестановке,,…,обозначим черезinv(,,…,).

Перестановка называется четной, если inv(,,…,)– четное число или ноль и нечетной в противоположном случае.

Пример. Определить четность перестановки 5, 3, 1, 6, 4, 2.

Решение. Число 5 образует четыре инверсии с числами 3, 1, 4, 2. Число 3 образует две инверсии с числами 1 и 2. Число 1 не образует инверсий. Число 6 образует 2 инверсии с числами 4 и 2. Число 4 образует одну инверсию с числом 2. Общее число инверсий inv(5, 3, 1, 6, 4, 2)=9, следовательно, данная перестановка является нечетной.

Очевидно, что перестановка 1, 2,…, nчетна при любомn, так как общее число инверсийinv(1, 2, …..,n)=0.

Теорема.Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Определение. Всякое взаимно однозначное отображение множества первыхnнатуральных чисел на себя называется подстановкойn–ой степени.

Всякая подстановка может быть записана при помощи двух перестановок

,

где – это то число, в которое при подстановке переходит числоi,.

Существуют различные формы записи подстановок, которые получают транспозицией нескольких столбцов.

Всякая подстановка n–ой степени может быть записана в виде

,

т.е. с естественным расположением чисел в верхней строке.

Очевидно, что при такой форме записи подстановки отличаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке. Поэтому число различных подстановок n–ой степени равно числу перестановок изnсимволов, т.е. равноn!.

Определение.Подстановка называется четной, если общее число инверсий в двух строках любой ее записи четно, и нечетной – в противоположном случае.

Покажем, что четность подстановки не зависит от формы ее записи. Рассмотрим произвольную запись некоторой подстановки

.

Перестановки, составляющие верхнюю и нижнюю строки этой записи, могут иметь или одинаковые или противоположные четности. Переход к любой другой записи подстановки можно осуществить с помощью нескольких транспозиций столбцов, причем каждая транспозиция меняет четность обеих перестановок и, следовательно, сохраняет совпадение или противоположность четностей.