4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4

4.1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

4.2. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

4.3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

4.4. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

4.5. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

4.6. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

4.7. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

4.8. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

4.9. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

4.10. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

4.11. Исследовать совместимость и найти общее и одно базисное решение системы линейных уравнений.

4.12. Исследовать совместимость и найти общее и одно базисное решение системы линейных уравнений.

4.13. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра .

4.14. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы уравнений.

Глава 5. Векторные пространства

5.1. Понятие векторного пространства

Определение. МножествоRэлементовназывается векторным или линейным пространством, если:

1. Любой паре элементов иоднозначно ставится в соответствие элемент, называемый суммойии обозначаемый;

2. Каждому элементу и любому числуставится в соответствие элемент, называемый произведением элементана числои обозначаемый;

3. Введение операций сложения элементов и умножения элементов на число удовлетворяют следующим аксиомам:

   1. ;

   2. , для любых;

   3. существует такой нулевой элемент , что, для любого;

   4. для каждого элемента существует такой элемент(называемый противоположным к), что;

   5. ;

   6. , для любогои любых чисел;

   7. , для любогои любых чисел;

   8. , для любыхиизRи любого числа;

Элементы векторного пространства называются векторами. Если в пространстве Rопределено умножение его элементов на вещественные числа, тоRназывается вещественным векторным пространством. Если элементы изRможно умножать на комплексные числа, тоRназывается комплексным векторным пространством. Из аксиом I – VIII непосредственно вытекают следующие свойства векторного пространства:

1. Единственность нулевого вектора. Предположим, что в пространстве Rимеются два нулевых вектораи. Тогда, так как для любогоимееми, то, в частности, полагая, получаеми, полагая, получаем. Ввиду равенстваполучаем.

2. Единственность противоположного вектора. Предположим, что у вектора имеются два противоположных вектораи. Тогдаи. Следовательно,, и, откуда.

3. Для каждого вектора . Действительно, для каждогоимеем. Прибавляя к левой и правой частям последнего равенства, получим, или.

4. Для любого числа и. Действительно,. Прибавляя к левой и правой частям равенства, получим.

5. Если произведение , то либо, либо. В самом деле, пусть, тогда.

Приведем следующие примеры некоторых векторных пространств.

1. Множество всех вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данное множество является векторным пространством, если числовой множитель является элементом множества рациональных или вещественных чисел. Если числовой множитель есть элемент множества комплексных чисел, то данное множество не образует векторного пространства, так как произведение действительного числа на комплексное число в общем случае есть комплексное число.

2. Множество всех рациональных чисел образует здесь векторное пространство, если числовой множитель есть рациональное число. Если числовой множитель является вещественным или комплексным числом, то это множество векторного пространства не образует.

3. Рассмотрим множество элементов, каждый из которых является упорядоченной последовательностью из действительных чисел. Элементы этого множества будем называть векторами и обозначать

,

Операции сложения векторов и умножения вектора на число вводятся следующим образом:

,.

Введенные операции удовлетворяют всем аксиомам I–VIIIвекторного пространства. Значит, это множество является векторным пространством, которое обозначимR_n. Очевидно, что нулевой вектор изR_nимеет вид:.

4. Множество всех многочленов степени, не превосходящей n, с обычными для многочленов операциями сложения и умножения на число. В этом пространстве векторимеет вид:, гдеА₀,А₁,…,A_n– произвольные числа,t– переменная. Данное множество является векторным пространством.

Пусть множество Rобразует некоторое векторное пространство. Тогда всякое подмножествоR₁множестваR, элементы которого также образуют векторное пространство с теми же самыми операциями сложения и умножения на число, что и вR, называется подпространством векторного пространстваR. Для того чтобы подмножествоR₁множестваRбыло подпространством векторного пространства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. если и, то

2. если и– любое число, то.

Необходимость следует из того, что эти условия должны выполняться для любого векторного пространства.

Для доказательства достаточности надо показать, что выполняются все восемь аксиом векторного пространства.

Справедливость аксиом I,II,V–VIIIочевидна. Докажем выполняемость аксиомыIII. Так как по условию, если, топри любом, то, полагая =0, получим. Нои, следовательно, аксиомаIIIверна. Для доказательства аксиомыIVположим. Так как, то, aесть вектор, противоположный вектору. Следовательно, подмножествоR₁вместе с векторомсодержит и противоположный ему элемент, что и доказывает выполнимость аксиомыIV.