7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Теорема(о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форманекоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство.Применим метод индукции по числуnпеременных. Приn=1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы отn-1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму отnпеременных:. Пусть– нормированный собственный вектор матрицыС, соответствующий собственному значению. Примемза первый столбец ортогональной матрицы

.

Матрица преобразованной квадратичной формы есть . Так как первый столбец матрицыТесть собственный вектор, то. Тогда

так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы.

Матрица симметрична, поэтому имеет вид

,

где – симметричная матрица.

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрицаQтакая, что

.

Положим .

Матрица Q₁ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицыQ. Тогда

.

Теорема доказана.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицыС, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример.Квадратичную форму

привести к каноническому виду.

Решение.Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы

.

Характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда .

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение к каноническому виду.

Решая уравнение , найдем собственные векторы

Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим

.

Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных. Действительно,Х=ТY, откуда.

Поэтому

7.4. Положительно определенные квадратичные формы

Определение.Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная формаположительно определена.

Определение.Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение.Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n=1 квадратичная формалибо положительно определена (приa₁₁>0), либо отрицательно определена (приa₁₁<0). Неопределенные формы появляются приn≥2.

Теорема(критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

.

Доказательство.Используем индукцию по числу переменных, входящих в. Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной,и утверждение теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы, зависящей отn-1 переменных.

1. Доказательство необходимости. Пусть

положительно определена. Тогда квадратичная форма

будет положительно определенной, так как если , то при.

По предположению индукции все главные миноры формы положительны, т.е.

.

Остается доказать, что .

Положительно определенная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованиемХ=ВYприводится к каноническому виду

.

Квадратичной форме соответствует диагональная матрица

с определителем .

Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицуСквадратичной формы в матрицу. Но так както.

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: .

Докажем, что квадратичная форма положительно определена. Из предположения индукции вытекает положительная определенность квадратичной формы. Поэтомуневырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду. Сделав соответствующую замену переменныхи положив, получим

,

где – какие-то новые коэффициенты.

Осуществляя замену переменных , получим

.

Определитель матрицы этой квадратичной формы равен , а так как знак его совпадает со знаком, то, и, значит, квадратичная форма– положительно определена. Теорема доказана.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы

были положительны. Но это означает, что

т.е. что знаки главных миноров матрицы Cчередуются, начиная со знака минус.

Пример.Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.

а) .

Решение.Матрица квадратичной формыимеет вид:

.

Вычислим главные миноры матрицы С:

Квадратичная форма положительно определена.

б) .

Решение.Вычислим главные миноры матрицы

Квадратичная форма является неопределенной.

В заключение сформулируем следующую теорему.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.