37
|
|
l |
D |
|
|
|
|
R |
|
|
|
M |
|
D |
C |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
ω |
|
C |
|
A |
|
|
|
O |
|
|
|
M |
|
A |
||
|
|
|
R |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
К3.8 |
|
|
|
К3.9 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.4. Окончание |
|
|
|
l
Таблица К3
Номер |
Для всех схем |
|
Для схем К3.0−К3.4 |
Для схем К3.5−К3.9 |
||
условия |
ω, 1/c |
b, см |
|
s = AM = f (t) |
l |
s = AM = f(t) |
|
|
|
|
|
|
πR(t4 − 3t2)/3 |
0 |
– 2 |
16 |
|
60(t4 − 3t2) + 56 |
R |
|
1 |
4 |
20 |
|
60(t3 − 2t2) |
R |
πR(t3 − 2t)/3 |
2 |
3 |
8 |
|
80(2t2 − t3) – 48 |
R |
πR(3t − t2)/6 |
3 |
– 4 |
12 |
|
40(t2 − 3t) + 32 |
3R/4 |
πR(t3 − 2t2)/2 |
4 |
– 3 |
10 |
|
50(t3 − t) − 30 |
R |
πR(3t2 − t)/3 |
5 |
2 |
12 |
|
50(3t − t2) – 64 |
R |
πR(4t2 − 2t3)/3 |
6 |
4 |
20 |
|
40(t − 2t3) – 40 |
4R/3 |
πR(t − 2t2)/2 |
7 |
– 5 |
10 |
|
80(t2 − t) + 40 |
R |
πR(2t2 − t)/3 |
8 |
2 |
8 |
|
60(t – t) + 24 |
R |
πR(t – 5t2)/6 |
9 |
– 5 |
16 |
|
40(3t2 − t4) − 32 |
4R/3 |
πR(2t2 − t3)/2 |
3.3. Пример выполнения задания К3
Круглая пластина (рис. 3.5) радиусом R = 60 см вращается вокруг оси ОО1 с постоянной угловой скоростью ω = 2 с–1. Ось вращения лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).
По ободу пластины движется точка М по закону s = АМ = |
π R (3t −t 2 ) |
|
6 |
(s – в сантиметрах, t − в секундах), h = R.
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 с.
38
Р е ш е н и е 1. Точка М совершает сложное движение, поскольку она одновременно
участвует в двух движениях: в относительном движении по ободу пластины вокруг центра С и в переносном вращении вместе с пластиной вокруг неподвижной оси ОО1.
Для определения абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки М введем неподвижную декартову систему координат ОXYZ, связанную с осью ОО1 так, что при t = 1 с пластина находится в плоскости ОYZ.
Абсолютную скорость находим по теореме (3.1) о сложении скоростей при сложном движении точки. Для этого определим относительную и переносную скорости точки Мв момент времени t = 1 спо модулю и направлению.
2. Рассмотримотносительноедвижение, заданноеестественнымспособом:
s = АМ = |
πR |
(3t −t2 ). |
|
6 |
|||
|
|
Найдем положение точки М на траектории относительного движения – окружности радиусом R в момент времени t = 1 с. Для этого вычислим длину дуги АМ (см) при t = 1 с:
s1 = AM = π6R (3 1−12 )= π3R .
Тогда центральный угол, стягивающий дугу АМ,
АCМ = SR1 = π3 ,
т. е. АСМ = 60º. Изображаем найденное положение на чертеже (рис. 3.5).
Z
R
h
O 
X
|
A |
|
|
|
|
M |
|
R |
60° |
Vr |
|
|
C Ve |
Va |
|
|
|
ωe |
Y |
|
|
|
|
|
ωe |
К |
O1 |
|
|
|
Рис. 3.5
39
Теперь находим относительную скорость точки М:
Vr = dS |
= |
d |
|
πR |
(3t − t 2 ) = |
πR |
(3 − 2t ). |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
dt 6 |
|
6 |
|
|
||||
При t = 1 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vr = |
πR |
(3 − |
2 1)= |
3,14 60 |
= 31, 4 см/с, |
|
|||||
|
6 |
|
|||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т. е. Vr > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как относительная |
скорость в данный момент положительна, |
||||||||||
то вектор VGr направим по касательной к окружности в точке М |
(VGr МС) |
||||||||||
всторону положительного отсчета дуговой координаты s (рис. 3.5).
3.Определим переносную скорость точки М. Переносной скоростью точки М является скорость той точки круглой пластины, с которой совпадает точка М в момент времени t = 1 с.
При переносном вращении с пластиной точка М описывает окружность
радиусом МК в перпендикулярной оси ОО1 плоскости с центром в точке К. Величина переносной скорости определяется как скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ОY:
Ve = ωe Re.
Найдем радиус Re траектории переносного движения точки М при t = 1 с (см. рис. 3.5):
Re = МК = h + R + Rcos 60º = 5R/2 = 150 см.
Тогда
Ve = 2 150 = 300 см/с.
Направим вектор VGe перпендикулярно радиусу МК в сторону переносного вращения, т. е. параллельно оси ОХ. G
4. Геометрически складывая на рис. 3.5 векторы Ve и Vr , определим вектор абсолютной скорости Va точки М. Так как вектор относительной скорости VGr лежит в плоскости OYZ, а вектор переносной скорости VGe направлен
вдоль оси ОX, то угол между ними α = 90º. Поэтому находим модуль абсолютной скорости точки М по формуле
V = |
V 2 |
+V 2 |
= 3002 +31,42 |
= 301,6 cм/с. |
a |
e |
r |
|
|
40
5. Для определения абсолютного ускорения точки М воспользуемся теоремой Кориолиса (3.3). Найдем относительное, переносное и кориолисово ускорения, входящие в правую часть векторного равенства (3.3). Так как траекторией относительного движения является дуга АМ окружности радиусом R, то
где |
|
|
|
|
|
aGr = aGrτ + aGrn , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аrτ = dVr |
= |
d |
|
πR |
( |
3 − 2t ) |
= − |
πR |
= − 62,8 см/с2 |
, |
|
|
|
3 |
|||||||||
dt |
|
dt 6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
аrn |
= |
Vr2 |
= |
31, 4 2 |
= 16, 4 см/с2 . |
|
||||
|
|
|
R |
|
|
60 |
|
|
|
|
|
Поскольку arτ < 0, то это ускорение направим по касательной к окружности в точке М в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты s, т. е. противоположно вектору Vr (относительное движение в данный момент замедленное). Вектор aGrn изобразим на рис. 3.6 из точки М по радиусу
кцентру С окружности.
6.Переносное ускорение точки М определяется как ускорение точки пластины, вращающейся вокруг неподвижной оси:
aGe = aGeτ + aGen ,
Рис. 3.6
41
Величины нормальной и касательной составляющих переносного ускорения точки М вычислим по формулам
|
|
|
|
|
аτ = ω2 R = 22 150 = 600 cм/с2 , |
|||||
|
|
|
|
|
е |
|
е e |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
аn |
= ε |
R = 0 см/с2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e e |
Так как по условию переносное вращение равномерное (ωе = const) |
||||||||||
и εe = |
dωe |
= 0, |
следовательно, переносное ускорение точки М равно нормаль- |
|||||||
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
aGе = aGеn . Вектор aGеn направим из точки М по |
||
ному переносному ускорению: |
||||||||||
радиусу МК к оси переносного вращения ОY (рис. 3.6). |
||||||||||
7. Согласно (3.5) модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле |
||||||||||
|
|
a |
= 2 |
G |
|
G |
|
sin α |
= 2 2 31,4 sin 60о =108,8 см/с2 , |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ω |
|
V |
|
|||||
|
|
С |
|
e |
|
r |
|
|
|
|
где α – угол между векторамиGVr |
и ωe. |
|||||||||
Направление вектора aС |
найдем по правилу Н. Е. Жуковского: спрое- |
|||||||||
цируем вектор относительной скорости точки Vr на плоскость ОXZ, перпен-
дикулярную оси ОО1, а затем повернем эту проекцию в плоскости ОXZ на 90º в направленииG переносного вращения (в направлении ωе). На рис. 3.6 изобразим вектор aС в точке М, направив его противоположно оси ОX.
8. Для определения абсолютного ускорения точки М запишем теорему Кориолиса в развернутом виде:
aGа = aGеτ + aGrn + aGrτ + aGС.
Спроецировав обе части равенства на оси декартовой системы координат, получим:
ааX = −аС = −108,8 см/с2 ;
ааY = −аrn cos 30°− аrτ cos 60° = −16,4 0,87 −62,8 0,5 = −45,6 см/с2 ;
ааZ = −аen − аrn cos 60° + аrτ cos 30° = −553,8 см/с2 .
Тогда модуль абсолютного ускорения точки М найдем по формуле
аа = аа2X + ааY2 + аа2 Z = (−108,8)2 + (− 45, 6)2 + (− 553,8)2 = 566,2 см/с2.
Следовательно, вектор абсолютного ускоренияG точки М в декартовых координатах имеет вид аGа = −108,8i −45,6 j −553,8k , а его модуль равен
566,2 см/с2.
О т в е т: Vа = 301,6 см/с, аа = 566,2 см/с2.