93
Решение задач на определение движения механической системы, состоящей из тел, соединенных гибкими нерастяжимыми нитями, с помощью теоремы (6.33) рекомендуется проводить в такой последовательности:
1)выделить тела, входящие в систему, и изобразить на рисунке все действующие на нее внешние силы;
2)определить кинетическую энергию системы в начальном и конечном положениях;
3)вычислить сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении системы;
4)используя результаты вычислений п. 2 и 3, записать теорему об изменении кинетической энергии системы (6.33) для данной задачи и определить искомую величину.
Вопросы для самопроверки
1.Когда элементарная работа сил равна нулю?
2.Как определяется работа силы тяжести?
3.Как вычисляется работа силы, приложенной к вращающемуся телу?
4.Что называется моментом инерции системы точек относительно произвольной оси?
5.Чему равен момент инерции однородной круглой пластины относительно центральной оси симметрии, перпендикулярной пластине?
6.Как определяется кинетическая энергия тела при плоском движении?
7.В чем заключается теорема об изменении кинетической энергии системы в конечной форме?
6.2.Задание Д2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы
Механическая система (рис. 6.8, табл. Д2) состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения скольжения грузов о плоскость f = 0,1), цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R4 = 0,3 м, r4 = 0,1 м, R5 = 0,2 м, r5 = 0,1 м (массу каждого шкива считать распределенной по его внешнему ободу). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.
Под действием постоянной силы F система приводится в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивления, равные соответственно М4 и М5.
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда
перемещение точки приложения силы F равно s1. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д2, где введены обозначения: V1 – скорость груза 1, VС3 – скорость центра масс катка 3, ω4 – угловая скорость тела 4 и т. д.
94
1 |
5 |
2 |
4 |
3 |
2 |
4 |
3 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30о |
F |
F |
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
60 |
о |
|
|
|
|
|||
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Д2.0 |
|
|
|
|
|
Д2.1 |
|
|
2 |
5 |
3 |
|
4 |
1 |
1 |
4 |
3 |
5 |
2 |
|
|
|
|
30о |
|
|
|
|
|
30о |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
60о |
F |
|
|
45 |
|
|
|
|
45о |
|
|
|
|
|
|
60о |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Д2.2 |
|
|
|
|
|
Д2.3 |
|
|
3 |
4 |
|
2 |
5 |
1 |
3 |
|
4 |
2 |
5 |
1 |
|
30о |
|
|
|
|
30о |
45о |
F |
о |
45о |
F |
|
|
|
60 |
|
|
|
Д2.4 |
|
|
|
|
Д2.5 |
|
|
1 |
4 |
2 |
5 |
3 |
3 |
5 |
2 |
4 |
1 |
|
|
30о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
о |
F |
|
о |
|
|
|
|
|
|
||
F |
60 |
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
Д2.6 |
|
|
|
|
Д2.7 |
|
|
Рис. 6.8
|
|
|
|
|
95 |
|
|
|
|
3 |
5 |
2 |
4 |
1 |
1 |
5 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
45о |
|
|
F |
30о |
|
|
|
|
|
|
30о |
|
|
|
|
60о |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д2.8 |
|
|
|
|
|
Д2.9 |
|
|
|
|
|
Рис. 6.8. Окончание |
|
|
|
|
|
Таблица Д2
Номер |
m1, кг |
m2, кг |
m3, кг |
m4, кг |
m5, кг |
М4, |
М5, |
F, Н |
s1, м |
Найти |
условия |
|
|
|
|
|
Н·м |
Н·м |
|
|
|
0 |
2 |
0 |
4 |
6 |
0 |
0 |
0,8 |
150 |
1,0 |
V1 |
1 |
6 |
0 |
2 |
0 |
8 |
0,6 |
0 |
120 |
1,2 |
ω5 |
2 |
0 |
4 |
6 |
8 |
0 |
0 |
0,4 |
180 |
0,8 |
VC3 |
3 |
0 |
2 |
4 |
0 |
10 |
0,3 |
0 |
140 |
0,6 |
V2 |
4 |
8 |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0,6 |
130 |
0,4 |
ω4 |
5 |
8 |
0 |
4 |
0 |
6 |
0,9 |
0 |
140 |
1,2 |
V1 |
6 |
0 |
6 |
2 |
8 |
0 |
0 |
0,8 |
160 |
1,0 |
ω4 |
7 |
0 |
4 |
6 |
0 |
10 |
0,6 |
0 |
130 |
0,8 |
ω5 |
8 |
6 |
0 |
4 |
0 |
8 |
0,3 |
0 |
140 |
1,6 |
VC3 |
9 |
0 |
4 |
6 |
10 |
0 |
0 |
0,4 |
150 |
1,4 |
V2 |
Указания. Когда по данным табл. Д2 масса груза 1 m1 = 0 (или m2 = 0), то груз 1 (или 2) на чертеже не изображать. Шкивы 4 и 5 всегда входят в систему. Момент сил сопротивления М4 (или М5) приложить к шкиву 4 (или 5) в сторону, противоположную его вращению.
6.3. Пример выполнения задания Д2
Механическая система (рис. 6.9) состоит из грузов 1 и 3 (коэффициент трения скольжения груза с плоскостью равен f), ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней R2 и r2 (масса шкива равномерно распределена по его ободу) и сплошного цилиндрического катка 4. Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 2. Под действием постоянной силы F система приводится в движение из состояния покоя. При движении на шкив 2 действует постоянный момент М2 сил сопротивления.
|
|
|
96 |
|
|
|
|
|
M 2 |
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
|
N3 |
3 |
4 |
|
|
O |
s3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
h3 |
|
|
|
N4 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sC4 |
|
|
|
|
F тр |
|
|
||
1 |
|
P2 |
3 |
h |
|
|
|
|
P3 |
C4 |
|
C4 |
|||
|
|
|
|
|
K4 |
F тр |
|
|
|
|
|
30 |
о |
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
P1 |
s1 |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.9 |
|
|
|
|
Определить скорость V1 груза 1, когда он опустится на высоту, равную s1. Решить задание при следующих данных: m1 = 2 кг; m2 = 3 кг; m3 = 2 кг;
m4 = 6 кг; R2 = 0,2 м; r2 = 0,1 м; f = 0,2; M2 = 0,5 Н м; F = 60 H; s1 = 1,0 м.
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1–4, |
||
соединенных нерастяжимыми нитями. |
|
||
FG |
Изобразим все действующие на систему внешние |
силы: активные |
|
, PG1, |
PG2 , PG3 , PG4 , момент сопротивления М2, реакции N2 , NG |
3 , NG4 и силы тре- |
|
ния FGтр и FGтр . |
|
||
|
3 |
4 |
|
Для определения скорости груза 1 V1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии неизменяемой системы (6.33).
2. Вычислим кинетическую энергию Т системы как функцию искомой скорости V1. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0 = 0. В произвольный момент движения системы величина Т равна сумме кинетических энергий тел системы:
Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4. |
(6.34) |
97
Учитывая, что грузы 1 и 3 совершают поступательное движение, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 4 движется плоскопараллельно, по формулам (6.28)–(6.30) получим
Т |
|
= |
1 mV 2 ; |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
= |
1 I |
ω2 |
; |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
(6.35) |
Т |
|
= |
1 m V 2 ; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
= |
1 m V |
2 |
+ |
1 I |
|
ω2. |
|||
|
4 |
|
2 |
4 |
C 4 |
|
2 |
C 4 |
4 |
||
Все входящие в (6.35) скорости следует выразить через искомую скорость V1. Приняв во внимание, что точка K4 – мгновенный центр скоростей катка 4, и обозначив радиус катка через r4, получим
ω |
|
= |
V1 |
; |
V = ω r = |
V1 |
r |
; |
V |
=V |
; |
ω |
|
= |
VC 4 |
|
= |
V1 |
|
r . |
(6.36) |
|
|
|
|
|
R r |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
R |
|
3 2 2 |
R |
2 |
|
C 4 |
3 |
|
|
4 |
|
C |
K |
4 |
|
2 |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
4 |
|
|||
Поскольку масса шкива 2 распределена по внешнему ободу, а масса катка 4 – по площади диска радиусом r4, по формулам (6.20), (6.21) находим входящие в (6.35) моменты инерции:
I |
|
= m R2 |
; |
I |
C 4 |
= |
1 m r2. |
(6.37) |
|
2 |
2 2 |
|
|
|
2 4 4 |
|
С учетом (6.35)–(6.37) запишем окончательно выражение для кинетической энергии системы (6.34) как функции искомой скорости V1:
|
1 |
|
|
|
r22 |
|
3 |
r22 |
|
2 |
|
Т = |
2 |
m1 |
+ m2 |
+ m3 |
|
+ |
2 m4 |
|
V1 . |
(6.38) |
|
R2 |
R2 |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3. Найдем сумму работ всех действующих внешних сил на перемещениях, которые будут иметь точки их приложения, когда груз 1 пройдет путь s1:
n |
|
|
|
∑Ake = A(FG) + A(PG1 ) + A(PG2 ) + A(PG3 ) + A(PG4 ) + A(NG2 ) + A(NG3 ) + |
|||
k =1 |
|
|
(6.39) |
+ A(NG |
) + A(M |
) + A(FGтр ) + A(FGтр ). |
|
4 |
2 |
3 |
4 |
98
Запишем выражение каждой работы из (6.39):
A(FG) |
= Fs cos 0°; |
A(PG) = Ph ; |
|
|
||||
G |
|
1 |
|
|
G1 |
1 1 |
|
|
A(P3 ) |
= −P3h3; |
|
A(P4 ) = −P4hC 4 ; |
(6.40) |
||||
A(M |
2 |
) = −M |
ϕ |
; |
A(FGтр ) = −F трs |
, |
||
|
2 |
2 |
|
3 |
3 |
3 |
|
|
где h1, h3, hC4 – вертикальные перемещения точек приложения соответственно сил тяжести PG1, PG3 , PG4 ; ϕ2 – угол поворота шкива 2; s3 – перемещение груза 3.
Работа остальных сил в (6.39) равна нулю, потому что точка К4, где приложены силы NG4 и FG4тр, является мгновенным центром скоростей; точка О,
где приложены силы PG2 иNG2 , неподвижна, а реакции N3 и NG4 перпендикулярны элементарным перемещениям точек их приложения.
Выразим все перемещения, входящие в (6.40), через величину заданного перемещения s1 груза 1. Для этого учтем, что зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями в равенствах (6.36):
|
h |
= s ; |
ϕ |
2 |
= |
s1 |
; |
s |
= |
|
s1 |
|
r ; h |
= h = s sin30° = |
|
s1 |
r sin30°. |
(6.41) |
|||||||||||||||
|
|
R |
|
|
R |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
R |
|
3 |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
Подставив (6.41) в (6.40), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
A(FG) = Fs ; |
A(PG) = P s |
= m gs |
; |
A(M |
|
) = −M |
|
s1 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
2 R |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A(PG ) = −P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
s1 |
r sin30° = −m gs |
|
r2 |
|
sin30°; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
3 R |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A(PG |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.42) |
|||
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
) = −P |
|
|
r sin30°= −m gs |
|
sin30°; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
|
4 R |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A(FGтр) = −F тр |
|
s1 |
r = −N |
3 |
f |
s1 |
|
r |
= −P f cos30° |
s1 |
r = − fm g cos30° |
s1 |
|
r . |
|||||||||||||||||||
|
|
R |
|
R |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 R |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
R |
2 |
|
|
3 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
С учетом (6.42) выражение (6.39) для суммы работ всех внешних сил системы примет вид