- •1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
- •1.1. Краткие теоретические сведения
- •1.2. Задание К1. Исследование движения точки при координатном способе задания движения
- •1.3. Пример 1 выполнения задания К1
- •1.4. Пример 2 выполнения задания К1
- •2. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ (ПЛОСКОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
- •2.1. Краткие теоретические сведения
- •2.2. Задание К2. Исследование движения плоского механизма
- •2.3. Пример выполнения задания К2
- •3. СЛОЖНОЕ (СОСТАВНОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
- •3.1. Краткие теоретические сведения
- •3.3. Пример выполнения задания К3
- •4. СТАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
- •4.1. Краткие теоретические сведения
- •4.2. Задание С1. Определение реакций опор твердого тела под действием плоской системы сил
- •4.3. Пример выполнения задания С1
- •4.5. Пример выполнения задания С2
- •5. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
- •5.1. Краткие теоретические сведения
- •5.3. Пример выполнения задания Д1
- •6.1. Краткие теоретические сведения
- •6.2. Задание Д2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы
- •6.3. Пример выполнения задания Д2
- •7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
- •7.1. Краткие теоретические сведения
- •7.3. Пример выполнения задания Д3
25
4.В чем заключается теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры?
5.Какая точка плоской фигуры является мгновенным центром скоро-
стей?
6.Как определяется угловая скорость плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей?
7.Как называется распределение скоростей точек плоской фигуры, если в данный момент времени ее мгновенный центр скоростей находится
вбесконечности?
2.2.Задание К2. Исследование движения плоского механизма
Плоский механизм (схемы К2.0–К2.9 на рис. 2.10) состоит из стержней 1–4 и катка В, катящегося по неподвижной плоскости без скольжения. На рис. 2.10 тела соединены друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 цилиндрическими шарнирами. Длины стержней: l1 = 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3 = 1,4 м, l4 = 0,8 м; радиус катка R = 0,2 м.
Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ, значения которых заданы в табл. К2. Точка D на всех схемах и точка K для схем К2.7– К2.9 находятся в середине соответствующего стержня.
Определить величины, указанные в столбце «Найти» табл. К2, а также угловую скорость катка В и ускорение точки А, если в данный момент времени стержень 1 имеет угловое ускорение ε1 = 10 с–2.
Таблица К2
Номер |
|
Углы, град |
|
|
ω1, 1/c |
ω4, 1/c2 |
VB, м/c |
Найти |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
условия |
α |
β |
γ |
|
φ |
θ |
V точек |
ω звена |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
30 |
150 |
120 |
|
0 |
60 |
2 |
– |
– |
В, Е, L |
2 |
1 |
60 |
60 |
60 |
|
90 |
120 |
– |
3 |
– |
A, D, L |
3 |
2 |
0 |
120 |
90 |
|
90 |
60 |
– |
– |
10 |
A, E, L |
2 |
3 |
90 |
120 |
30 |
|
0 |
60 |
3 |
– |
– |
B, E, L |
2 |
4 |
0 |
150 |
30 |
|
0 |
60 |
– |
4 |
– |
A, B, L |
2 |
5 |
60 |
150 |
120 |
|
90 |
30 |
– |
– |
8 |
A, E, L |
3 |
6 |
30 |
120 |
30 |
|
0 |
60 |
5 |
– |
– |
B, E, L |
3 |
7 |
90 |
150 |
120 |
|
90 |
30 |
– |
5 |
– |
A, D, L |
3 |
8 |
0 |
60 |
30 |
|
0 |
120 |
– |
– |
6 |
A, E, L |
2 |
9 |
30 |
120 |
120 |
|
0 |
60 |
4 |
– |
– |
B, E, L |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
Указания. Построение чертежа начинать со стрежня, направление ко- |
||||||||||||||
торого определяется углом α. Дуговые стрелки на схемах показывают, как |
||||||||||||||
при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие |
||||||||||||||
углы, т. е. по ходу или против хода часовой стрелки. Заданную в табл. K2 |
||||||||||||||
угловую |
скорость |
считать |
направленной |
против |
хода |
часовой |
стрелки, |
|||||||
а заданную скорость VGB |
шарнира В |
в сторону b параллельно неподвижной |
||||||||||||
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|||
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
D |
|
3 |
E |
|
|
|
|
|
D |
O |
|
|
|
|
|
L |
|
3 |
γ |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
θ |
|
|
|||
|
|
B |
|
|
|
|
B |
|
1 |
|
||||
|
L |
β |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
ϕ |
|
|
O |
|
ϕ |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
К2.0 |
|
|
|
|
|
К2.1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
D |
|
4 |
|
1 |
A |
|
D |
|
|
|
|
|
1 |
|
θ |
|
|
|
β |
|
B |
|
|
||||
|
β |
E |
|
α |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
||||||
O |
α |
|
|
γ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
L |
|
|
|
|||
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
γ |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
O |
|
θ |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
b |
ϕ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
К2.2 |
|
|
|
|
|
К2.3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
A |
|
|
|
|
α |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
γ |
|
|
3 |
E |
|
2 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
O |
|
|
|
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
||||
|
A |
|
|
γ |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
α |
θ |
|
|
β |
B |
O |
|
|
|
|
β |
|
2 |
|
|
|
|
O |
|
|
D |
|
2 |
|
|
L |
|
D |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
L |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2.5 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
L |
B |
γ |
2 |
|
4 |
|
K |
|
|
E |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ϕ |
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
β |
D |
B |
L |
||||
|
|
D |
|
|
|
2 |
|
γ |
|
|
|
α |
|
|||||
A |
|
βα |
|
|
|
θ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
b |
|||
1 |
O |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
O |
|
A |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
К2.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
γ |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
O |
|||
|
|
|
|
|
β |
|
|
L |
|
|
|
|
D |
β |
4 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
B |
|
|
|
1 |
1 |
||||||
|
|
|
α |
A |
|
b |
|
|
|
|
α |
K |
|
|
||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|||
|
L |
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
ϕ |
γ |
|
|||||
b |
B |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
O |
2 |
A |
||||||
|
|
|
|
O |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
ϕ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.10. Окончание |
|
|
|
|
|
|
|
28
2.3. Пример выполнения задания К2
Плоский механизм состоит из четырех стержневых звеньев, соединенных между собой и с неподвижными опорами О1 и О2 цилиндрическими шарнирами, и катка В, катящегося по неподвижной плоскости без скольже-
ния (рис. 2.11).
Длины стержней соответственно равны l1, l2, l3, l4, радиус катка R, а положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ; точка С находится в середине стержня 2.
Найти скорости точек В, С, L, E и угловые скорости всех звеньев механизма, если звено 1 (кривошип О1А) вращается с угловой скоростью ω1. Определить также ускорение точки А кривошипа О1А, если в данный момент его угловое ускорение ε1.
Решить задачу при следующих данных: ω1 = 4 рад/с; ε1 = 4 рад/с2; l1 = 0,4 м; l2 = 0,8 м; l3 = 0,6 м; l4 = 0,2 м; R = 0,2 м; α = 30º, β = 120º, γ = 45º,
φ= 0º, θ = 60º.
Ре ш е н и е
При движении рассматриваемого механизма стержни 1 и 4 совершают вращательные движения вокруг неподвижных осей О1 и О2 соответственно, стержни 2, 3 и каток В − плоскопараллельное движение.
1.Строим положение механизма в соответствии с заданными углами
α, β, γ, φ, θ (рис. 2.12).
2.Определим скорости точек механизма. Модуль скорости точки А
вычислим как скорость точки вращающегося кривошипа O1А:
VA = ω1l1 = 1,6 м/с, VA О1А.
Вектор VGA скорости точки А направлен перпендикулярно к кривошипу O1А в сторону его вращения (на рис. 2.12 в направлении угловой скорости ω1, изображенной дуговой стрелкой).
|
Определяем VB. Вектор VB |
скорости точки В известен по направлению, |
||||||||
так как эта |
точка кроме |
стержня 2 принадлежит катку, катящемуся |
без |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
скольжения по неподвижной горизонталь- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ной плоскости, и траекторией точки В яв- |
|||
|
A |
|
2 |
C |
|
L |
ляется горизонтальная |
прямая. Поэтому |
||
1 |
|
|
|
вектор VB направим параллельно непод- |
||||||
α |
β |
|
|
B |
b |
|||||
O1 |
|
γ |
вижной плоскости в сторону движения |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
O 4 |
θ |
3 |
|
|
катка. |
|
|
|
||
|
|
|
Теперь, зная V |
A |
и направление |
V , |
||||
|
2 |
|
E |
|
|
ϕ |
|
|
B |
|
|
|
|
|
воспользуемся теоремой (2.6) о проекци- |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ях скоростей двух точек тела (стержня |
|||
|
|
|
Рис. 2.11 |
|
|
АВ) на ось, проходящую через эти точки |
||||
|
|
|
|
|
(на ось х, проведенную вдоль стержня 2). |
29
Вычислив эти проекции, получим
VВ cos 30° = VA cos 30°,
отсюда
G VB =VA =1,6 м/с.
Находим VС . Поскольку точка С принадлежит стержню 2, то для опре-
деления ее скорости по модулю и направлению строим МЦС стержня АВ. Для этогоG наGрис. 2.12 восстановим перпендикуляры в точках А и В к скоро-
стям VA и VB до ихGпересечения и найдем точку Р2 – МЦС стержня 2. Направление вектора VA определяет направление поворота стержня АВ вокруг P2 (VGP2 = 0 ). Вектор VGС перпендикулярен отрезку Р2С, и, так как треугольник АР2В является равносторонним (медиана СР2 является биссектрисой и высотой этого треугольника), в заданном положении механизма вектор VС
направлен по стержню АВ в сторону поворота звена 2. Величину VС получим из пропорции (2.9) для МЦС:
|
|
|
|
VC |
= CP2 . |
|
|
||
|
|
|
|
V |
A |
AP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 |
P2 |
|
|
x |
|
V |
|
|
|
30o |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
O1 |
1 |
o |
120o |
|
|
|
|
||
30 |
|
|
VC |
|
|
|
|||
|
|
|
|
C |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
VL |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
45 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
45 |
30o |
L |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
VB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωB |
|
|
|
|
|
ω3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75o |
|
ω 60o |
P |
|
||
|
|
|
P |
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
VE |
B |
|
|
|
|
|
3 |
O2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 E |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.12 |
|
|
30
Отсюда
VC =VA CP2 =VA cos30o ≈1,39 м/с, VGC P2C.
AP2
Определим скорость точки L. Так как точки В и L принадлежат катку, совершающему плоскопараллельное движение, то для определения скорости точки L по модулю и направлению воспользуемся методом МЦС, т. е. найдем точку катка, скорость которой равна нулю. Для катка такой точкой всегда является точка его касания РВ с неподвижной горизонтальной плоскостью. Величину VL получим из пропорции для МЦС:
VL = LPB ,
VB BPB
тогда
V |
=V |
LPB |
=1,6 R |
2 |
≈ 2,26 м/с. |
|
R |
||||
L |
B BP |
|
|
||
|
|
B |
|
|
|
Направление вектора VB определяет направление поворота катка вокруг его МЦС – РВ, поэтому на рис. 2.12 вектор VL изобразим перпендику-
лярным расстоянию LPB Gв направлении этого поворота.
Найдем скорость VE . Поскольку кроме стержня 3 точка Е принадлежит
звену 4, совершающему вращательное движение вокруг оси O2, то вектор |
|
ее |
скорости VGE изобразим на рис. 2.12 перпендикулярно стержню 4 |
(VG |
O2 E ). |
E |
|
Так как точки Е и С принадлежат одному звену 3, совершающему
плоскопараллельное движение, то для определения величины скорости точки Е строим МЦС для этогоG звенаG. На рис. 2.12, проведя из точек Е и С перпен-
дикуляры к скоростям VE и VС до их пересечения, найдем точку P3 – МЦС стержня 3. По направлению вектора VС установим направление поворота
стержня СЕ вокруг мгновенного центра скоростей P3. Численное значение скорости точки Е определим из пропорции для МЦС:
VЕ = EP3 ,
VC CP3
откуда
VE =VC EP3 .
CP3
31
Расстояния EP3 и CP3 найдем из треугольника CP3E по теореме синусов:
|
EP3 |
= |
CP3 |
= |
CE |
. |
|
sin 45° |
|
sin 60° |
|
sin 75° |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
EP = CE sin 45° |
≈ 0, 439 м; |
CP = CE sin 60° |
≈ 0,538 м. |
||
3 |
sin 75° |
|
3 |
sin 75° |
|
|
|
|
|
Тогда
VE =VC EP3 ≈1,13 м/с.
CP3
3. Определим угловые скорости всех звеньев рассматриваемого плоского механизма. Вычислим ω2. Так как МЦС стержня 2 известен (Р2) и АР2 = ВР2 = АВ = l2= 0,8 м (треугольник AP2B является равносторонним), то
ω2 = VA/AP2 = 2 c–1.
Каток совершает мгновенный поворот вокруг его МЦС – PB, поэтому
ωB = |
VB |
= |
VB |
= 8 c−1. |
BPB |
|
|||
|
|
R |
Аналогично для стержня 3 находим
ω3 = VC ≈ 2,58 c−1.
CP3
Стержень 4 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси O2, поэтому
ω = |
VE |
= |
VE |
≈ 5, 65 c−1. |
|
|
|||
4 |
EO2 |
|
l4 |
|
|
|
4. Найдем aGA. Точка А принадлежит звену 1, вращающемуся вокруг
неподвижной оси O1. Следовательно, ее ускорение определяется как ускорение точки вращающегося тела:
aA = аGАτ +аGАn .
Числовые значения касательного ускорения аАτ и нормального ускорения аGАn таковы:
аАτ = ε1l1 = 0,8 м/с2; аАn = ω12 l1 = 6,4 м/с2.