109

7.3. Пример выполнения задания Д3

Механическая система (рис. 7.2) состоит из грузов 1 и 3 (коэффициент трения скольжения груза с плоскостью равен f ), ступенчатого шкива 2

с радиусами ступеней R2 и r2 (масса шкива равномерно распределена по его ободу) и сплошного цилиндрического катка 4. Тела системы соединены друг сGдругом нитями, намотанными на шкив 2. Под действием постоянной силы

F система приводится в движение из состояния покоя. При движении на шкив 2 действует постоянный момент М2 сил сопротивления.

Для данной системы составить уравнение Лагранжа второго рода и определить значение искомой величины в тот момент времени, когда пере-

мещение точки приложения силы F равно s1.

Решить задание при следующих данных: m1 = 2 кг; m2 = 3 кг; m3 = 2 кг; m4 = 6 кг; R2 = 0,2 м; r2 = 0,1 м; f = 0,2; M2 = 0,5 H м; F = 60 H; s1 = 1,0 м.

F

Рис. 7.2

Р е ш е н и е 1. Рассматриваемая система (рис. 7.2) имеет одну степень свободы

(S = 1), так как изменение положения любого тела системы приведет к однозначному перемещению всех других ее тел. Поэтому для характеристики движения данной системы следует ввести одну обобщенную координату и составить уравнение Лагранжа второго рода.

110

Поскольку в данном примере требуется определить скорость груза 1, то за обобщенную координату примем расстояние х, пройденное этим грузом от состояния покоя в направлении его движения (вниз). Тогда обобщенная скорость равна искомой скорости груза 1, т. е. x =V1 .

Запишем начальные условия движения (7.18) для данной задачи:

Уравнение Лагранжа второго рода (7.17) для рассматриваемой механической системы имеет вид

2. Для нахождения явного вида уравнения (7.21) необходимо определить кинетическую энергию рассматриваемой системы как функцию обобщенной координаты х и обобщенной скорости x .

В произвольный момент движения системы величина Т равна сумме кинетических энергий тел системы:

Учитывая, что грузы 1 и 3 совершают поступательное движение, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 4 движется плоскопараллельно, по формулам (6.28)–(6.30) получим

Выразим все входящие в (7.23) скорости через обобщенную скорость x :

Поскольку масса шкива 2 распределена по внешнему ободу, а масса катка 4 – по площади диска радиусом r4, по формулам (6.20), (6.21) находим входящие в (7.23) моменты инерции:

111

С учетом (7.23)–(7.25) запишем окончательно выражение для кинетической энергии системы (7.22) как функции обобщенной скорости x :

ремещение, при котором обобщенная координата х получит положительное приращение δх > 0 в направлении ее отсчета. Покажем на рис. 7.2 возможные перемещения каждого из тел системы:

для груза 1 − вертикальное перемещение δs1 = δх; для шкива 2 − поворот на угол δϕ2 вокруг оси О;

для груза 3 −перемещение δs3 вверх по наклонной плоскости; для катка 4 − поворот на угол δϕ4 вокруг МЦС (K4).

При этом центр масс катка – точка С – получит возможное перемещение δsC4 .

112

Вычислим возможную работу сил системы на этих возможных перемещениях. Получим

Входящие в (7.29) возможные перемещения следует выразить через независимое возможное перемещение δх. Отметим, что зависимость между возможными перемещениями будет такой же, какая существует между скоростями точек и угловыми скоростями тел при движении склярономной механической системы. Из (7.24) следует, что

Подставляя (7.30) в (7.29) и вынося δх как общий множитель за скобки, находим

Подставив (7.27) и (7.31) в (7.21), находим явный вид уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемой системы:

Понизим порядок дифференциального уравнения (7.32), представив ускорение груза 1 в виде производной от сложной функции:

113

С учетом (7.33) запишем уравнение (7.32) в виде уравнения с разделяющимися переменными:

Умножим (7.34) на dх и вычислим от частей полученного уравнения определенные интегралы, при этом нижние пределы интегрирования соответствуют начальным условиям движения (7.20), а верхние − конечным условиям x = s1 , V =V1 :

или

3,875V12 =55,8s1.

Отсюда находим искомую скорость груза 1, когда перемещение точки приложения силыF равно s1 = 1 м:

Сравнивая результат (7.35) с ответом примера выполнения задания Д2, приходим к выводу, что задание Д3 решено верно.

О т в е т: V1 = 3,8 м/с.

114

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

Современный этап развития науки и техники, характеризующийся гигантским ростом новейших видов производства и технических средств, ставит перед инженерами сложнейшие проблемы, решение которых требует научного прогнозирования и строгого предварительного расчета, основанных на знании фундаментальных наук, и в первую очередь на знании дисциплины «Теоретическая механика».

Специалисты, работающие в разных областях техники, должны владеть общими методами теоретической механики, которые дают универсальный аналитический аппарат для исследования сложных задач, относящихся не только к чисто механическим, но и к электрическим и электромеханическим явлениям.

Курс «Теоретическая механика» является фундаментальным, т. е. основой для многих дисциплин, в дальнейшем изучаемых студентами технических специальностей. В результате изучения этой дисциплины каждый студент

должензнать:

основные понятия и определения; условия равновесия твердых тел;

способы нахождения положения центра тяжести твердого тела; способы задания движения точки; общие геометрические свойства движения тел и виды их движения;

законы динамики и вытекающие из них общие теоремы для материальной точки и механической системы;

принципы механики и основы аналитической механики. На основе полученных знаний студент обязан уметь:

правильно понимать физический смысл явлений при механическом движении и равновесии материальных тел;

определять силы взаимодействия между телами при их равновесии; находить силы, под действием которых материальная точка совершает

то или иное движение; определять движение материальных точек и тел под действием прило-

женных к ним сил.

Таким образом, изучение курса «Теоретическая механика» способствует формированию у студентов диалектико-материалистического мировоззрения, развитию их логического мышления и дает им понимание весьма широкого круга явлений, относящихся к одной из форм движения материи − к механическому движению.

Овладение методами моделирования при решении задач механики и умение самостоятельно и математически корректно их решать потребуется студентам не только для дальнейшего обучения в вузе, но и в будущей профессиональной деятельности − при проектировании и эксплуатации различных машин и сооружений.

115

БИ Б Л И О Г Р А Ф И Ч Е С К И Й С П И С О К

1.Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики : учеб. для втузов /

С. М. Тарг. – М. : Высш. шк., 1995. – 416 с.

2.Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики : в 2 т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – СПб. : Изд-во «Лань», 1998. – 736 с.

3.Добронравов, В. В. Курс теоретической механики / В. В. Добронравов, Н. Н. Никитин. – М. : Высш. шк., 1983.

4. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике / И. В. Мещерский. – СПб. : Изд-во «Лань», 1998. – 448 с.

5.Яблонский, А. А. Курс теоретической механики / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. – СПб. : Изд-во «Лань», 2004. − 768 с.

6.Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Статика

икинематика : учеб. пособие / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. − СПб. : Политехника, 1995. − 670 с.

7.Валькова, Т. А. Теоретическая механика : курс лекций / Т. А. Валькова. – Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2005. – 224 с.

116

П Р И Л О Ж Е Н И Е

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

α, β, γ, θ, ϕ, ψ – углы

δА – полная виртуальная работа

δАν – виртуальная работа активной силы Fν

δfG– изохронная вариация функции f

δrν – виртуальное перемещение ν-й точки

( δrν )m – виртуальное перемещение ν-й точки при приращении δqm > 0 δхν, δуν, δzν – проекции вектора δrν на декартовы оси

ε – угловое ускорение тела λ – деформация пружины ν – индекс суммирования

ρ – радиус кривизны траектории

ρGz – радиус инерции тела относительно оси z

ρ – радиус-вектор точки в подвижной системе отсчета Axyz

а– индекс абсолютного движения

а– модуль ускорения точки

aG, b, d, l – линейные размеры aG – вектор ускорения точки

aGa – абсолютное ускорение точки аGС – ускорение центра масс С аGе – переносное ускорение точки

аGМА – ускорениеточки М привращенииплоскойфигурывокругполюса А аGr – относительное ускорение точки

аGn – нормальное ускорение точки аGτ – касательное ускорение точки b – орт бинормали

С– центр тяжести твердого тела

С– центр масс (тела) системы

С1, С2, ..., Сn – постоянные интегрирования D – подвижное тело

d – плечо пары сил

ds – модуль элементарного перемещения dr точки е – индекс переносного движения

g – ускорение свободного падения h – плечо силы

h – вертикальное перемещение

hkx, hky, hkz – перпендикуляры, опущенные из k-й точки на оси x, y, z соответственно

IСx, ICy, ICz – моментыинерциисоответственноотносительноосейCx, Cy, Cz, проходящих через центр масс С тела (системы)

kG– индексG G суммирования

i , j, k – орты декартовой системы координат

nG– индекс главной нормали n – орт главной нормали

О– произвольный центр в пространстве

О– начало декартовой системы координат

118

OXYZ – неподвижная декартова система координат Аxyz – подвижная декартова система координат РG– мгновенный центр скоростей

Р – сила тяжести

QGm – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате qm Q – равнодействующая системы распределенных сил

q – интенсивность равномерно распределенной нагрузки qm – обобщенная координата

qmax – максимальнаяинтенсивностьнагрузки, распределеннойполинейномузакону qm – обобщенная скорость, соответствующая обобщенной координате qm

RG– радиус

RG – главный вектор системы сил

RRGA––равнодействующаяравнодействующая реакции в точке А тела

RGX, RY,GRZ – проекцииG главного вектора R соответственно на оси X, Y, Z

RAX , RAY , RAZ – составляющие реакции RA , направленные соответственно по осям X, Y, Z

r – индекс относительного движения

rG– радиус

rG – радиус-вектор точки

rC – радиус-вектор центра масс С (центра тяжести тела) системы

s – криволинейная координата точки S – плоское сечение тела

SG– число степеней свободы

S – реакция шарнира с невесомым стержнем Т – кинетическая энергия

Т0, Т1 – кинетическая энергия системы в начальный и конечный моменты вре-

x, y, z – декартовы координаты точки

X, Y, Z – оси декартовой системы координат ОXYZ

xGC, yC, zC – декартовы координаты центра масс С механической системы МО – главный момент системы сил относительно центра О

МX, MY, MZ – проекцииглавногомомента МО наосиX, Y, Z соответственно

MZ – вращающий момент вокруг оси Z

Мn – моментсилсопротивления, приложенныйкn-муступенчатомушкиву

119

О Г Л А В Л Е Н И Е

7.2.Задание Д3. Применение уравнения Лагранжа второго рода

кисследованию движения механической системы с одной сте-

Учебное издание

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебное пособие

Валькова Татьяна Александровна Вальков Валерий Владимирович Маринушкин Дмитрий Александрович Рабецкая Ольга Ивановна Шаронов Андрей Александрович

Под общей редакцией кандидата физико-математических наук Т. А. Вальковой

Редактор А. А. Гетьман Компьютерная верстка: О. А. Кравченко

Подписано в печать 29.12.2010. Печать плоская. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 7,0. Тираж 500 экз. Заказ № 2916

Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а