5.3. Пример выполнения задания Д1

82

Отсюда находим

С1 = VА + 0,5 cos (0) = 10 + 0,5 = 10,5 м/с.

Подставив значение С1 в (5.23), запишем зависимость скорости груза D от времени в виде

Подставив в (5.24) t = t1 = 1 c, находим величину V1 скорости груза D:

V1 =10,5 −0,5cos (5) −6,6 ≈ 3,76 м/с.

Для определения закона движения груза в (5.24) запишем скорость в дифференциальной форме:

ddxt =10,5 −0,5cos (5t) −6,6t.

Умножим обе части этого уравнения на dt и, снова интегрируя, находим

Подставив в (5.25) начальные условия (5.19), получим

0 = −0,1sin (0) +C2.

Отсюда получаем

С2 = 0.

Тогда искомый закон движения груза D вдоль оси Ахимеет вид

x =10,5t −0,1sin (5t) −3,3t2 ,

где х − в метрах, t − в секундах.

О т в е т: x =10,5t −0,1sin (5t) −3,3t2 ; V1 = 3,76 м/с.

83

6. МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

6.1. Краткие теоретические сведения

Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), движение которых изучается.

Механические системы бывают неизменяемые и изменяемые. Система называется неизменяемой, если расстояние между любыми двумя ее точками остается постоянным при движении (например, абсолютно твердое тело). Если расстояние между двумя точками системы изменяется при ее движении, то система называется изменяемой.

Для механической системыG , состоящей из n материальныхG точек, активные (заданные) силы Fkа (k = 1, 2, …, n) и реакции связей Nk , действующие на системуG , разделяются на внутренние и внешние силы. Внутренними силами Fki называются силы взаимодействия между точками (телами) данной системы. Внешними силами Fke называются силы, действующие на

точки системы со стороны точек (тел), не входящих в состав рассматриваемой системы. Такое деление является условным и зависит от того, какая механическая система изучается.

Рассмотрим систему материальных точек Bk (k = 1, 2, …, n), движу-

щуюсяG G относительноG инерциальной системы отсчета Oxyz под действием сил F1, F2 , ..., Fn соответственно.GПусть mk −масса, rk −радиус-вектор точки Bk

в системе координат Oxyz, Fk − равнодействующая всех сил (внутренних и внешних), приложенных к этой точке, drk −элементарное перемещение точки Bk вдоль ее траектории за время dt (рис. 6.1).

Рис. 6.1

84

Элементарной работой dAk силы Fk называется скалярное произведе-

Согласно (6.3) элементарную работу совершает касательная составляющая силы Fk τ = mk ak τ = mk ddVtk .

В декартовой системе координат

FGk =Fk xi +Fk y Gj +Fk zk,

drGk =dxki +dyk Gj +dzkk,

и выражение (6.1) принимает вид

на оси x, y, z.

85

Пусть материальная точка Вk совершает конечное перемещение из положенияG Вk0 в положение Вk1, описывая дугу Вk0 Вk1 (рис. 6.1). Работа силы Fk на конечном перемещении Вk0 Вk1 равна криволинейному интегралу, взятому от элементарной работы вдоль этого перемещения:

где s1 − расстояние между точками В0 и В1.

Р а б о т а с и л ы т я ж е с т и равна взятому со знаком «+» или «–» произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения:

Работа положительна, если точка В приложения силы P опускается, и отрицательна, если точка В поднимается над земной поверхностью (рис. 6.2).

86

Р а б о т а р е а к ц и и ш е р о х о в а т о й п о в е р х н о с т и. При движении точки В по шероховатой поверхности или кривой из положения В0 в В1 (рис. 6.3) реакция шероховатой поверхности заменяется состав-

ляющими: нормальной реакцией N поверхности и силой трения скольжения

Работа силы трения скольжения Fтр при движении материальной точ-

ки по шероховатой поверхности из положения В0 в положение В1 (рис. 6.3) определяется по формуле

88

Моментом инерции механической системы (тела) относительно оси z (осевым моментом инерции) называется положительная величина, равная сумме произведений масс точек системы (тела) на квадрат их расстояний до этой оси:

где hkz − длина перпендикуляра, опущенного из k-й точки на ось z. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси z, Iz = mh2.

Размерность осевого момента инерции [Iz] = M L2 , где M – масса, L – длина. Единица измерения осевого момента инерции – килограмм-метр в квадрате (кг м2).

Для тел сложной формы момент инерции Iz можно записать в виде

где М − масса тела; ρz − положительная величина, называемая радиусом инерции тела относительно оси z.

В случае сплошного твердого тела объемом V, разбивая его на элементарные объемы с массой mk и устремляя их к нулю, находим

Iz = γ ∫ (x2 + y2 )dV.

(V)

Приведем формулы моментов инерции некоторых однородных тел.

Для тонкого круглого однородного кольца массой М радиусом R

момент инерции относительно оси Сz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 6.5, а),

Такой же результат можно получить для момента инерции тонкой однородной цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее центральной оси симметрии.

89

Рис. 6.5

Для круглой однородной пластины массой М и радиусом R момент инерции относительно центральной оси Сz, перпендикулярной пластине (рис. 6.5, б), определяется по формуле

Аналогичный результат можно получить при вычислении момента инерции однородного цилиндра массой М и радиусом R относительно центральной оси симметрии.

Для однородного прямоугольного параллелепипеда массой М со сторонами l, a, b (рис. 6.6) моменты инерции относительно осей Сx, Cy, Cz, проходящих через центр масс С и параллельных его ребрам, вычисляются по формулам

Чтобы получить момент инерции тонкого однородного стержня массой М, длиной l относительно оси Сz, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, достаточно в третьей формуле (6.22) положить a = 0:

90

Иногда для определения моментов инерции твердых однородных тел удобно пользоваться теоремой Гюйгенса − Штейнера: момент инерции тела относительно данной оси равен мо- менту инерции относительно оси, ей

параллельной, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат рас-

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинети-

ческих энергий всех материальных точек (тел) системы:

Кинетическая энергия положительна, за исключением случая, когда скорости всех точек системы равны нулю.

При вычислении кинетической энергии часто пользуются теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы при абсолютном движении равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс:

где VC − величина скорости центра масс С системы; Vkr − модуль относительной скорости k-й материальной точки по отношению к центру масс С системы.

91

Запишем выражения для кинетической энергии твердого тела при различных видах его движения.

П р и п о с т у п а т е л ь н о м д в и ж е н и и т в е р д о г о т е л а, когда все его точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс (Vk =VC ), имеем

Следовательно, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.

П р и в р а щ е н и и т е л а в о к р у г н е п о д в и ж н о й о с и z кинетическую энергию можно вычислить по формуле

где Iz − момент инерции тела относительно оси z; ω − угловая скорость тела.

Следовательно, кинетическая энергия тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения осевого момента инерции на квадрат угловой скорости.

П р и п л о с к о п а р а л л е л ь н о м д в и ж е н и и кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии поступательного движения тела с центром масс С и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения тела:

Здесь ICz − момент инерции тела относительно оси Сz, перпендикулярной плоскости его движения.

Если механическая система состоит из нескольких твердых тел, то следует вычислить кинетическую энергию каждого тела, а затем полученные значения сложить.

Определение кинематических характеристик точек и тел механической системы можно проводить с использованием теорем об изменении кинетической энергии.

92

Для составления дифференциальных уравнений движения, а также для нахождения ускорений точек или угловых ускорений тел следует применять

теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциаль-

ной форме: дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, т. е.

где dAkе и dAki − элементарные работы соответственно внешних и внутренних

сил, действующих на k-ю точку системы.

Если обе части равенства (6.31) проинтегрировать в пределах, соответствующих перемещению системы из начального положения с кинетической энергией Т0 в конечное положение, в котором кинетическая энергия равна Т1, то получим уравнение

выражающее теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе на этом перемещении.

В случае неизменяемой системы (абсолютно твердое тело) сумма работ

ния гибкой нерастяжимой нити, связывающей тела системы, также равна нулю. В этих случаях выражение (6.32) принимает более простой вид:

Следовательно, для неизменяемой системы в правую часть (6.33) входит только работа внешних сил, действующих на систему. Данное обстоя-

тельство позволяет исключить из рассмотрения внутренние силы, которые обычно неизвестны, что значительно упрощает решение практических задач на определение скоростей точек или угловых скоростей тел механической системы при ее перемещении из начального в конечное положение.